No sé la respuesta exacta (porque depende de la definición precisa de una teoría de homología que se prefiera), pero yo plantearía la pregunta de una manera ligeramente diferente (dejando de lado las estructuras de CW por un tiempo). Podríamos intentar pensar en el problema de la misma manera que resolvemos el problema de una teoría de Galois topológica sobre un espacio X: obtendremos una correspondencia de Galois
{cubiertas de X}<->{representaciones de π₁(X)}
si (el topos de gavillas sobre) X es localmente simplemente conectado. Si X no es localmente simplemente conexo, obtendremos tal correspondencia con el π₁(X) toposico, que será un pro-grupoide, por tanto algo diferente de π₁(X) computado en la categoría modelo habitual de espacios. Podríamos pensar en este fenómeno como una versión no aditiva de nuestra pregunta.
En términos más generales, dado un espacio X, podríamos preguntarnos cuándo coinciden los invariantes topos-teóricos y los invariantes CW (es decir, los que se obtienen utilizando la estructura clásica del modelo en Top). El interés de este punto de vista es que esto será un problema local sobre X, y que proporcionará sistemáticamente dos formas de ver una teoría (co)homológica: en la categoría de modelos de espacios, o en la teoría de homotopía de (∞-)topoi. Por lo que entiendo de todo esto, lo único que utilizamos en la estructura CW es la propiedad de contractibilidad local: si X es localmente contractible, entonces podemos considerar el conjunto O(X) de subespacios abiertos contractibles de X (ordenados por inclusión). Tenemos entonces que X es el colímite homotópico de sus subespacios abiertos contractibles (en la categoría modelo habitual de espacios, pero también en el entorno de ∞-topoi). Por lo tanto, el tipo de homotopía de X (como espacio y como topos) es sólo el nervio de O(X), que tiene una estructura canónica CW (pero no sé cómo demostrar que X tiene una estructura CW en sí misma), de modo que la unicidad de la (co)homología se mantendrá en tal X (suponiendo algunas buenas propiedades de descenso). La idea es que podemos debilitar estas condiciones locales.
Para plantear el problema general, podríamos fijar una buena localización de Bousfield a la izquierda de la categoría modelo de espacios topológicos, que denotaré por S. Por buena localización de Bousfield a la izquierda, podríamos entender que se obtiene mediante una anulación (es decir, invirtiendo un mapa de forma A->pt). Podríamos pensar en S como la teoría de homotopía de (n-1)-groupoides (en el caso A=Sⁿ, para 0≤n≤∞), pero también podríamos tomar A de forma que S corresponda a complejos CW hasta la construcción plus de Quillen, lo que está más relacionado con nuestro problema de homología singular. Las razones por las que sugiero considerar sólo las anulaciones son que 1) son más agradables porque conducen a categorías modelo propias (al menos en Top), lo que facilita los cálculos, 2) en todas las definiciones, sólo trataremos con equivalencias débiles de forma X->pt. La idea es estudiar la teoría de los "topoi relativamente a S".
Dado un ∞-topos X, denotamos por Sh(X) la ∞-categoría de apilamientos sobre X con valores en S. Tenemos entonces Sh(pt)=S. Digamos que X es S-asférico (o, si se prefiere, S-acíclico...) si el functor de pila constante S->Sh(X) es totalmente fiel. Y digamos que X es localmente S-asférico si existe una familia generadora en X (si X es un espacio topológico, esto significa una base de subespacios abiertos) formada por apilamientos U sobre X tal que X/U es asférico. Para un X general, el functor de pila constante c:S->Sh(X) siempre tendrá un pro-adjunto, y lo bueno es que este pro-adjunto será un adjunto genuino a la izquierda de c si y sólo si X es localmente S-asférico. En otras palabras, tenemos entonces un functor à la Artin-Mazur
{∞-topoi}->Pro(S)
(que tiene un adjunto derecho; véase 7.1.6.15 en el libro de Lurie sobre topoi superiores), y supongo que inducirá una equivalencia de ∞-categorías de forma
{Localmente S-asférico ∞-topoi}=S
(para ello, considere a los ∞-topoi localmente S-asféricos} como localizados por S-equivalencias, es decir, por mapas que se vuelven invertibles en Pro(S)).
Así, para un espacio topológico X, tenemos dos formas de enviarlo a Pro(S): considerar el tipo de pro-S-homotopía asociado a Sh(X), o considerar X como un objeto de la categoría subyacente a la estructura de la categoría modelo sobre Top subyacente a la definición de S. Entonces, los espacios topológicos X cuyos ∞-topos asociados son localmente S-asféricos son precisamente aquellos para los que las dos formas de verlos en Pro(S) coinciden. Si S es la teoría de la homotopía asociada a la construcción plus de Quillen, entonces obtenemos que, para cualquier espacio topológico X que tenga una base de subespacios abiertos U tal que U->pt induzca un isomorfismo en (pro)homología con coeficientes constantes, la (co)homología singular topos teórica y la (co)homología singular "habitual" (calculada usando Hom's en (pro-)espectros) coincidirán. Pero en caso contrario, no lo harán, y podríamos esperar obtener ejemplos explícitos de no coincidencia en este sentido.
[comentarios y precisiones adicionales]
Lo que yo llamo cohomología singular toposteórica es simplemente la cohomología de la gavilla con coeficientes en la gavilla constante Z (que es lo mismo que tomar las secciones globales de la imagen de las K(Z,n) por c:S->Sh(X)). Si se considera un espacio topológico X, entonces la cohomología singular toposteórica de X será una teoría de cohomología que satisface la escisión, que coincidirá con la cohomología singular habitual para espacios localmente contractibles (y más generalmente, espacios localmente S-asféricos, donde S denota la teoría de homotopía de espacios hasta la construcción plus de Quillen). Para la homología, tendrá la misma imagen, excepto que tomará valores en grupos pro-abelianos en general (excepto de nuevo para espacios localmente contractibles, etc): considere el pro-espacio asociado, y tome su homología habitual. Este punto de vista toposico da así una teoría de cohomología que coincide con la (co)homología singular para los espacios buenos, pero no coincidirá para una gran clase de ellos. Toda esta historia es válida para cualquier teoría de (co)homología que preserve los colímites de homotopía (lo que implica los axiomas de Eilenberg-Steenrod).
En cuanto a la existencia del pro-adjunto de c:S->Sh(X), esto se debe a que cualquier functor exacto de izquierda accesible tiene tal cosa (como se demuestra en el libro de Lurie). El tipo de pro-homotopía asociado a X es entonces la imagen del objeto terminal de Sh(X) por este pro-adjunto.
Debo mencionar también que la teoría de los tipos pro-homotopía de los topoi se trata en la sección 7.1.6 del libro de Lurie sobre los topoi del infinito (en el caso en que S es la teoría de homotopía habitual de los infinito-grupoides, pero los mismos argumentos deberían funcionar en la generalidad que he sugerido aquí). No me resisto a mencionar que este tipo de punto de vista puede ser visto (después de Lurie) como una manera conceptual de ver la teoría de la forma, pero esto es también la teoría de Galois (superior) en el sentido de Grothendieck (tal punto de vista también se menciona en el trabajo de Toën y Vezzosi sobre topoi superior): en el caso en que S es la teoría de homotopía de 1-grupoides, se obtiene exactamente la teoría del grupo fundamental como se desarrolló en SGA1 (y más tarde por Leroy, Moerdijk, etc).
[Conjetura] Propongo la siguiente conjetura como respuesta a la pregunta inicial (y las construcciones sugeridas anteriormente dan al menos alguna evidencia, por no decir una idea para una estrategia de prueba).
La mayor clase de espacios para los que los axiomas de Eilenberg-Steenrod determinan la homología singular consiste en los espacios topológicos X que satisfacen una de las siguientes cuatro condiciones equivalentes.
1) para cualquier subespacio abierto U de X, la homología teórica de la gavilla y la homología singular habitual coinciden;
2) los subespacios abiertos U de X tales que la homología singular teórica de U es trivial en grado >0 forman una base de subconjuntos abiertos de X;
3) los subespacios abiertos U de X tales que la homología singular habitual de U es trivial en grado >0 forman una base de subconjuntos abiertos de X;
4) los subespacios abiertos U de X tales que U_+ es contractible forman una base de subconjuntos abiertos de X.
