¿Cómo contar esto de forma más rápida?

Question

Es un problema de tarea, me tomó 20 minutos hacerlo,
y lo que es peor es que no obtuve la respuesta exacta correcta....
(sólo se nos pide que demos una cifra aproximada, por lo que no perdí ningún punto...)

inicialmente, a=0, b=0, C=0. C se utiliza para contar el número de veces del algoritmo.

cuando a=0, b empieza de 0, 1, 2,... a siempre que a^2+b^2 >= 2500, entonces para
entonces a=1, b empieza desde 0, 1, 2,... hasta cuando a^2+b^2 >= 2500, entonces para
. . . . sigue, y el último bucle será a=49, b=0,1,2,...9.

La cuestión es el valor de C.

Lo hice paso a paso, como cuando a=3, a^2=9,
luego hacer un trabajo de "cuadrar" y "restar" sabiendo que b se detiene en b=49.

Me pregunto si hay una forma inteligente de hacerlo rápida y correctamente sin ordenadores...

¡Gracias!

Answer 1

Para cualquier $a$ , $b$ puede llegar hasta el mayor número entero por debajo de $\sqrt{2500-a^2}$ . Así que para cualquier $a$ tenemos la cuenta igual a $\lfloor\sqrt{(2500-a^2)}\rfloor$ . Los medios paréntesis significan la función suelo. Entonces se sumaría esto de $a=0$ hasta $a=49$ . (También se puede sumar a $a=50$ pero el piso de 0 es 0).

Conectando con wolframalpha obtengo $\sum_{a=0}^{a=49} \lfloor\sqrt{(2500-a^2)}\rfloor = 1961$

Esto supone que C no se incrementa cuando $a^2+b^2 \ge 2500$ . Si C se incrementa en la iteración en la que se cumple esta condición, entonces utilizamos la función techo en su lugar para obtener $\sum_{a=0}^{a=49} \lceil\sqrt{(2500-a^2)}\rceil = 2006$