¿Demostración del teorema del operador inverso?

Question

Dejemos que $X,Y$ sean espacios de Banach y que $A:X\to Y$ por un operador lineal acotado biyectivo. Sea $\delta > 0$ sea una constante tal que $B_\delta(0;Y) \subset A(B_1(0))$ . Entonces tenemos que $$ \inf_{\substack{x\in X\\ Ax = y}} ||x||_X \le \delta^{-1}||y||_Y, \quad \text{for all} \ y \in Y. $$ Quiero demostrar que el operador inverso $A^{-1}:Y\to X$ está acotado demostrando que $||A^{-1}|| \le \delta^{-1}$ .

Esto es lo que he hecho: $$ \begin{align} ||A^{-1}|| = \sup_{||y||=1}||A^{-1}y||_X \\ = \sup_{{\substack{x\in X\\ Ax = y\\||y||=1}}}||x||_X \\ \end{align} $$ Pero tengo un $\sup$ en esta expresión en lugar de un $\inf$ ¿entonces no puedo usar la desigualdad anterior para terminar la prueba?

Answer 1

Sólo utilizamos $B_\delta(0;Y) \subset A(B_1(0))$ :

con este fin tomar $y \in Y$ con $y \ne 0$ . Entonces $z:=\frac{\delta}{||y||_Y}y \in B_\delta(0;Y) \subset A(B_1(0))$ . Por lo tanto, hay $x \in X$ con $||x||_X \le 1$ y $z=Ax$ . Así es:

$A^{-1}y=\frac{||y||_Y}{\delta}x$ Por lo tanto

$$||A^{-1}y||_X \le \frac{||y||_Y}{\delta}.$$

Esto da

$$||A^{-1}|| \le \delta^{-1}.$$