Prueba para crear una partición de un conjunto contable utilizando cadenas en órdenes parciales.

Question

Definición: Una partición de un conjunto $A$ es un conjunto de subconjuntos no vacíos de $A$ llamados los bloques de la partición, tales que cada elemento de $A$ está en algún bloque, y si $B$ y $B'$ son bloques diferentes, entonces $B \cap B' = \emptyset$

Dejemos que $\ R \ $ sea una relación de orden parcial estricta (irreflexiva) sobre el conjunto $A$ ,

$depth(a)$ : longitud de la cadena más larga que termina en $a$ , donde $a \in A$

$A_k$ ::= $\{a| \ depth(a) = k \}$

Propuesta: Quiero demostrar que todos los conjuntos posibles $A_k$ para $k \in \mathbb{N}$ forman una partición del conjunto $A \ $ ,
es decir, quiero mostrar que cada elemento $a$ del conjunto $A$ es un miembro de algún bloque $A_k$ y el conjunto $A_k$ no tiene intersección con otro conjunto $A_j$ donde $j \neq k$

Tengo las siguientes preocupaciones:

• Si $A$ es un conjunto finito, entonces definitivamente la longitud de la cadena más larga que termina en $a$ no puede ser mayor que $|A|$ . Así que siempre $a \in A_k$ para un número finito de $k \in \mathbb{N}$

• Pero me preocupa cuando el conjunto $A$ es contablemente infinito o incontable. Intenté aplicar el principio de descenso infinito para el caso contable argumentando que existe una biyección entre el conjunto $A$ y naturales, pero no pudieron tener éxito.

Y no creo que Propuesta es válido si $A$ es incontable.

Se necesita ayuda para la demostración y validez de la proposición para los casos contables e incontables del conjunto $A$ .

Answer 1

En la medida en que sus definiciones tienen sentido para conjuntos infinitos, la proposición es falsa. Por ejemplo, en $\mathbb Z$ con el orden parcial estricto $\lt$ Hay infinitas cadenas que terminan en cada elemento. Para que tu definición tenga sentido, tendríamos que decir que la profundidad de cada elemento es infinita. Pero entonces ninguno de los elementos está en ninguno de los $A_k$ para $k\in\mathbb N$ .