Expectativa de un número variable de lanzamientos posteriores del dado

Question

Se lanza un dado, y un número $x$ aparece. Entonces $x$ se lanza un dado, y se dice que la suma de todos los dados es $y$ . Ahora $y$ se lanza un dado, y la suma de los números del dado en cada lanzamiento se dice que es $z$ . ¿Cuál es el valor esperado de $z$

Al principio este problema parece que necesita programación para ser resuelto, ya que individualmente habrá muchos casos. Por ejemplo, para $x = 2$ , $y$ puede ser cualquier cosa, desde $2$ a $12$ y luego $z$ puede ser cualquier cosa, desde $2$ a $72$ .

Se puede utilizar un programa recursivo para calcular las probabilidades de todos los posibles $z$ que en todos los casos puede ser de $1$ a $6^3$ . El problema del cálculo por fuerza bruta es claramente que para valores mayores de $y$ número de casos en $z$ aumenta muy rápidamente. Para $y=36$ Habrá $36$ mueren cada uno con $6$ opciones por lo que un total de $6^{36}$ ¡operaciones para este caso en sí mismo!

Este enfoque recursivo no es adecuado, pero no he podido encontrar otro método para abordar esta cuestión. Otro método podría ser contar los casos manualmente, pero eso tampoco es muy plausible.

¡Cualquier pista es bienvenida!

Answer 1

$\mathbb E[Z]=\mathbb E[\mathbb EZ\mid Y]]=\mathbb E[3.5Y]]=3.5\mathbb E[Y]=3.5\mathbb E[\mathbb E[Y\mid X]]=3.5\mathbb E[3.5X]=3.5^2\mathbb EX=3.5^3$