Derivación de las igualdades a partir de la razón de momios

Question

¿Podría alguien darme los pasos consecutivos para derivar las siguientes ecuaciones?

$$P(Y=1) = \frac{\mathrm{OR}}{1+\mathrm{OR}}$$

y

$$P(Y=0) = \frac{1}{1+\mathrm{OR}}$$

de

$$\mathrm{OR}=\frac{P(Y=1)}{P(Y=0)},$$

donde $P(Y=1)$ es la probabilidad de éxito, $P(Y=0)$ es la probabilidad de fracaso, y $\mathrm{OR}$ es el Odds Ratio.

Debe tener algo que ver con el hecho de que $P(Y=1) + P(Y=0)=1$ pero no puedo resolverlo.

Answer 1

Se trata de dos ecuaciones con dos incógnitas $$ c=\frac{a}{b},\qquad a+b=1, $$ donde $a,b\in (0,1)$ y $c\in (0,\infty)$ .

Resolvamos para $b$ . La primera ecuación da como resultado $a=bc$ y sustituyendo esto en la segunda ecuación se obtiene $$ 1=bc+b=b(c+1)\quad\Rightarrow \quad b=\frac{1}{c+1}. $$ Ahora usa eso $a=1-b$ para derivar una expresión para $a$ dependiendo sólo de $c$ y se da cuenta de que su ejemplo tiene $a=P(Y=0)$ , $b=P(Y=1)$ y $c=\mathrm{OR}$ .