La temperatura $u(x,t)$ de un cable de cobre de longitud $\pi$ obedece a la ecuación de calor unidimensional $$ u_t = 3u_{xx} $$ en el dominio $0 < x < \pi$ para todos $t > 0$ con la condición inicial $$ u(x,0) = 1 − \cos(2x), quad \text{ for } 0 < x < \pi. $$ (a) Supongamos que la temperatura $u(x,t)$ también satisface las condiciones de contorno $$ u_x(0,t)=u_x(\pi, t) = 0, \quad \text{for } t \ge 0. $$ Por sustitución o de otro modo, demuestre que $$ u(x, t) = e^{At} + Be^{-3t}\cos(x) + Ce^{Dt}\cos(2x) $$ es una solución de la ecuación del calor que satisface las condiciones iniciales y de contorno para los valores adecuados de las constantes $A, B, C$ y $D$ .
Hasta ahora he identificado que tengo que utilizar las condiciones de contorno de Neumann y tengo $$ \begin{split} A_0 &= \frac{2}{\pi} \int_0^L f(x)dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (1-\cos(2x))dx = 2\\ A_n &= \frac{2}{\pi} \int_0^L f(x)\cos(\frac{nx\pi}{L})dx \\ &= \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (1-\cos(2x))\cos(nx)dx \\ &= \frac{2}{\pi} \times \frac{4\sin(n\pi)}{n^3-4n} \\ &= 0 \end{split} $$ ya que n debe ser un número entero y para todos los números enteros de n, por lo que $\sin(n\pi)=0$ .
Sé que me he equivocado en alguna parte y no estoy seguro de si es todo mi enfoque o si he metido la pata en alguna parte puede alguien ayudar por favor.
siéntase libre de editar las etiquetas si tengo esto en el lugar equivocado y lo siento esto es tan mal escrito
