Cuestión de cantidades pivotantes en el Análisis Bayesiano, por qué la distribución a priori es $p(\theta)\propto 1/\theta$ ?

Question

Estoy leyendo el clásico de Gelman Análisis bayesiano de datos y en la página 54 afirma

Mis preguntas son:

1. Por qué $p(\theta)\propto 1/\theta$ ? No debería ser $p(\theta)=\frac{y}{\theta}$ ?
2. Para mí $p(\log(\theta))=\frac{1}{\log(\theta)}$ No entendí por qué escribió $p(\log\theta)\propto 1$

Answer 1

La notación de Gelman, utilizando la misma letra $p$ para varias funciones diferentes, es detestable.

La expresión $\propto\dfrac1\theta$ está implícito en $=\dfrac1\theta.$ Decir que algo ${}\propto\dfrac 1\theta$ significa que algo ${}=\dfrac{\text{constant}}\theta,$ y "constante" significa que no depende de $\theta.$ Así que si ${}=\dfrac y\theta$ es correcto, entonces ${}\propto\dfrac1\theta$ es correcto.

A continuación, recuerde que $\left(1\cdot d\log\theta=\dfrac{d\theta}\theta\right)$ así que ahí es donde se encuentra el " $1$ " viene de.