¿Qué significa "aumenta en proporción a"?

Question

Me encontré con un problema de elección múltiple en el que una función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+1} - x$ se da. Hay que elegir el enunciado correcto de la función. Las diferentes afirmaciones sobre la función incluyen:

• (1) la función aumenta en proporción a $x^2$ .
• (2) la función aumenta en proporción a $x$
• (3) la función es constante.

Obviamente la función es constante, pero mi pregunta es qué significa el " aumenta en proporción a " significa. No lo he encontrado antes, y me preguntaba si es estándar para algo. Me gustaría ver un ejemplo de una función que se puede decir que satisface esta declaración.

Answer 1

Decir " $f$ aumenta en proporción a $g$ " es sólo otra forma de decir " $f$ es proporcional a $g$ ", es decir, $f$ es igual a $g$ por una constante no nula.

(En otros contextos esto puede significar sólo aproximadamente, pero el uso "literal" es que es igual a $g$ por una constante).

Answer 2

Un significado "estricto" de:

$f(x)$ aumenta en proporción a $g(x)$

sería $$f(x)=a g(x)$$ para alguna constante $a$ (presumiblemente positivo.)

Hay muchos significados más laxos, pero eso dependería de una definición específica. Por ejemplo, si $\lim_{x\to\infty} f(x)/g(x)$ existe, se podría decir que esto es cierto.

Si el problema proviene de un libro, es posible que el libro defina la terminología en una sección anterior. Si el problema proviene de un cuestionario del profesor, es posible que se trate de algo definido en clase. Yo me quedaría con la definición estricta o con la definición de límite si esto ocurriera sin contexto, como parece ocurrir en este problema.

¿Dónde ha encontrado este problema? Podría ser simplemente un lenguaje descuidado utilizado por un escritor de pruebas.

Answer 3

Para responder a su pregunta sobre los ejemplos en los que $f(x)$ sería proporcional a $x$ y $x^2$ Sólo tenemos que modificar ligeramente la función original.

$f(x) = \frac {x^2-1}{x+1} $ es interesante entre $x=-2$ y $x=2$ pero como $x$ se hace muy grande o muy pequeño, el término "-1" y el término "+1" son insignificantes y la expresión es aproximadamente $\frac {x^2}{x}$ o $x$ . Esto sería proporcional a $x$ .

Si $f(x) = \frac{x^3-1}{x+1} - x$ , entonces como $x$ se hace muy grande o muy pequeña, la función se descompone en $\frac{x^3}{x} -x $ o $x^2$ . Esto sería proporcional a $x^2$ durante gran parte de $x$ .