Encontrar el método de estimación de momentos, $EXP\sim(\beta,\mu)$

Question

Supongamos que $X_1,X_2,...,X_n$ es una muestra aleatoria de tamaño $n$ con la distribución $EXP\sim(\beta, \mu)$ , hallar el estimador del método de los momentos, $\tilde{\mu}_{mm}$ de $\mu$ Estoy confundido en cuanto a lo que exactamente estoy tratando de encontrar. Así que primero tengo:

$\mu_1=E[X]=\mu+\beta$

y luego tengo

$\mu_2=E[X^2]=VAR[X]+E[X]^2=\beta^2+(\mu+\beta)^2$

Que $\mu$ ¿Intento aislarme? ¿Estoy tratando de aislar $\beta$ ¿también? Estoy tomando mi primera clase de estadística y estoy muy confundido. Cualquier ayuda sería apreciada

Answer 1

Está tratando de obtener un estimador para el $\mu$ que está en el lado derecho de las dos últimas ecuaciones, sustituyendo $\mu_1$ y $\mu_2$ por sus equivalentes en la muestra $m_1$ y $m_2$ y sustituyendo $\mu$ y $\beta$ por símbolos que representan estimadores del método de los momentos (aquí omitiré el " $_{mm}$ " y sólo utilizar el subíndice " $\tilde{}$ " por encima).

Tendrás entonces dos ecuaciones en dos incógnitas; $\tilde{\mu}$ y $\tilde{\beta}$ . Una manipulación/reorganización trivial de las ecuaciones le dará ecuaciones explícitas para ambos en función de $m_1$ y $m_2$ .

Por el aspecto de la pregunta, usted está específicamente interesado en $\tilde{\mu}$ pero esencialmente obtendrá $\tilde{\beta}$ a lo largo del camino de forma gratuita.