Encontrar la probabilidad de estado estacionario de una cadena de Markov

Question

Dejemos que $X_{n}$ sea una cadena de Markov en el espacio de estados $S = \{ 1,2 \dots, 23 \}$ con una probabilidad de transición dada por

$p_{i,i+1}= p_{i,i-1} = \frac {1}{2} \ \ \forall \ 2\le i \le 22 , $

$ p_{1,2}= p_{1,23} = \frac {1}{2} $

$ p_{23,1}= p_{23,22} = \frac {1}{2} $

entonces tenemos que demostrar que $P(X_n=i) = \frac {1}{23} $ .

intento :

( he pensado en muchos resultados que conozco pero no he podido averiguar)

he intentado resolver ecuaciones

$\pi_1 = \frac {1}{2} \pi_2 + \frac {1}{2} \pi_{23} $

$\pi_2 = \frac {1}{2} \pi_1 + \frac {1}{2} \pi_3 $

..

..

$ \pi_{23} = \frac {1}{2} \pi_1 + \frac {1}{2} \pi_{22} $

pero esto parece confuso. Por favor, sugiera un método adecuado.

Answer 1

Tenga en cuenta que $p(X_n=i)=\frac{1}{23}$ sugiere que la distribución es independiente de $n$ un resultado que ya utilizó implícitamente cuando escribió $\pi P=\pi$ donde $\pi$ es un vector y $P$ es el $23\times23$ matriz de transición. Esto sugiere que $\pi_n$ convergen hacia la distribución estacionaria como $n\rightarrow \infty$ y que $\pi$ es la probabilidad en estado estacionario. Considere cómo calcularía $\pi$ como resultado de un número infinito de transiciones. En particular, consideremos que $\pi_n=\pi_0 P^n$ y que $\lim_{n\rightarrow \infty} \pi_0 P^n= \lim_{n\rightarrow \infty} P^n= \pi$ . A continuación, puede utilizar la última igualdad para calcular $\pi$ y para demostrar que $\pi_i=\frac{1}{23}$ .