Este es el problema:
Supongamos que $*$ es una operación binaria asociativa sobre un conjunto $S$ . Dejemos que
$$H:= \{a \in S\mid a * x = x * a \mbox{ for all }x\in S\}.$$
En otras palabras, $H$ está formado por todos los elementos de $S$ que conmutan con cada elemento de $S$ .
Demostrar que $H$ está cerrado bajo $*$ .
Supongamos que $a,b \in H$ . Debe demostrar que $a * b \in H$ . Por lo tanto, debe demostrar que para cualquier $x \in S$ , $(a * b) * x = x * (a * b)$ .
Aquí tienes algunos consejos para empezar:
(1) Ya que $*$ es una operación asociativa, $(a * b) * x = a * (b * x)$ .
(2) Ya que $b \in H$ , $b * x = x * b$ Así que $a * (b * x) = a * (x * b)$ .
¿Puedes terminar la prueba desde aquí? Vas a utilizar una serie de pasos que son similares a (1) o (2).
Muy bien, creo que lo tengo. Usando el inicio que @Michael Joyce me dio...
(1) Como ∗ es una operación asociativa, (a∗b)∗x=a∗(b∗x).
(2) Como b∈H, b∗x=x∗b, entonces a∗(b∗x)=a∗(x∗b).
(3) Como ∗ es una operación asociativa, a∗(x∗b)=(a*x)*b.
(4) Como a∈H, a∗x=x∗a, por lo que (a*x)*b=(x*a)*b.
(5) Como ∗ es una operación asociativa, (x*a) b=x (a*b).
Como (a∗b)∗x=x*(a*b) entonces a*b ∈ H.
Así que, H está cerrado bajo *.
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