Las instrucciones son para encontrar la respuesta utilizando los residuos.
Pregunta
$$\int_{0}^{\infty}\frac {x^2\,dx}{(x^2+1)(x^2+4)}$$
$2i, -2i, i, -i$ son los polos y los residuos correspondientes son $\frac {\pm1}{6i}, \frac{\pm1}{3i}$
Así que después de demostrar que el integrando sobre la parte del semicírculo (y no el segmento $[-R, R]$ ) del contorno $C$$ $ \begin{aligned} z(t) = Re^{i\theta t} &&R>2 \end{aligned} va a 0 como $R\rightarrow\infty$ para que en efecto $$\int_{\gamma}\frac {x^2\,dx}{(x^2+1)(x^2+4)} = \int_{-R}^{R}\frac {x^2\,dx}{(x^2+1)(x^2+4)}$$ donde $\gamma$ es el semicírculo cerrado. Como esta función es par tomaríamos la mitad de esta integral de $[0, \infty)$ . Ahora, he intentado utilizar el teorema del residuo de Cauchy. Sin embargo, como se puede notar los residuos todos suman 0. Sin embargo, la respuesta mediante el uso de fracciones parciales implica tangente inversa y la respuesta es $\frac{\pi}{6}$ Estoy confundido
