Fórmula del valor medio para funciones armónicas no homogéneas

Question

Estoy trabajando en los problemas del libro de texto de EDP de Evans, pero estoy atascado con el siguiente problema sobre la modificación de la prueba de la fórmula del valor medio para las funciones armónicas. No consigo ver cómo derivar el segundo término del lado derecho de la fórmula que aparece a continuación. Agradecería que alguien me ayudara a derivar esta fórmula.

Modificar la demostración de las fórmulas del valor medio para mostrar para $n\ge 3$ que $$ u(0)=\frac{1}{V(\partial B(0,r))}\int_{\partial B(0,r)}g \, dS +\frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\int_{B(0,r)}\left[\frac{1}{|x|^{n-2}}-\frac{1}{r^{n-2}}\right]f \,dx, $$ proporcionó $$ \begin{cases}-\Delta u=f & \text{in } B^0(0,r) \\ \quad \, \, \, u=g & \text{on } \partial B(0,r).\end{cases} $$

Answer 1

$\def\Vol{\operatorname{Vol}}$ Como hace Evans en su demostración de la fórmula del valor medio, defina $\phi\colon [0,r] \to \mathbb R$ por \[ \phi(s) = \frac 1{\Vol(\parcial B_s)} \int_{parcial B_s} u(x)\f, dS(x) = \frac 1{Vol(\parcial B_1)} \int_{parcial B_1} u(sx)\f, dS(x) \] Tenemos \begin{align*} \phi'(s) &= \frac 1{\Vol(\partial B_1)} \int_{\partial B_1} Du(sx)x\, dS(x)\\ &= \frac 1{n\alpha(n)s^{n-1}} \int_{\partial B_s} Du(x)\, \frac xs\, dS(x)\\ &= \frac 1{n\alpha(n)s^{n-1}} \int_{\partial B_s} Du(x)\, \nu_{B_s}(x)\, dS(x)\\ &= \frac 1{n\alpha(n)s^{n-1}} \int_{\partial B_s} \frac{\partial u}{\partial \nu}(x)\,dS(x)\\ &= \frac{1}{n\alpha(n)s^{n-1}} \int_{B_s} \Delta u(x)\, dx\\ &= -\frac 1{n\alpha(n)s^{n-1}}\int_{B_s}f(x)\, dx \end{align*} Como $\phi$ es diferenciable en $(0,r)$ y continua en $[0,r]$ tenemos \begin{align*} \phi(r) -\phi(0) &= \int_0^r \phi'(s)\, ds\\ &= -\int_0^r \frac 1{n\alpha(n)s^{n-1}} \int_{B_s} f(x)\, dx\; ds\\ &= -\frac 1{n\alpha(n)} \int_0^r s^{1-n}\int_0^s \int_{\partial B_\sigma} f(x)\, dS(x)\; d\sigma\; ds\\ &= \frac 1{n\alpha(n)} \int_0^r \int_\sigma^r s^{1-n}\int_{\partial B_\sigma} f(x)\, dS(x)\; ds\; d\sigma\\ &= -\frac 1{n(n-2)\alpha(n)} \int_0^r \int_{\partial B_\sigma} f(x)\, dS(x)\; d\sigma\\ &= -\frac 1{n(n-2)\alpha(n)}\int_0^r \int_{\partial B_\sigma}\left(\frac 1{\sigma^{n-2}} - \frac 1{r^{n-2}}\right) f(x)\, dS(x)\;d\sigma\\ &= -\frac 1{n(n-2)\alpha(n)}\int_0^r \int_{\partial B_\sigma}\left(\frac 1{|x|^{n-2}} - \frac 1{r^{n-2}}\right) f(x)\, dS(x)\;d\sigma\\ &= -\frac 1{n(n-2)\alpha(n)}\int_{B_r} \left(\frac 1{|x|^{n-2}} - \frac 1{r^{n-2}}\right) f(x)\, dx \end{align*} Ahora, como $\phi(0) = u(0)$ y \[ \phi(r) = \frac 1{{Vol(\parcial B_r)}\int_{parcial B_r} g(x)\\f, dS(x) \f] se obtiene el resultado deseado.

Answer 2

También puedes mirar el segundo término de la derecha. Es la solución fundamental, desplazada hacia abajo para ser $0$ en el límite de $B_r$ , integrado contra $\Delta u$ . Heurísticamente, integra por partes y utiliza que el laplaciano de la solución fundamental es $\delta_0$ para obtener la fórmula deseada.