Probando la improbabilidad: ¿Se utiliza la compacidad en la metáfora?

Question

Estoy leyendo "Combinatorial Set Theory" de Halbeisen, y ciertamente proporciona una gran exposición del forzamiento (salvo sus convenciones de notación para el forzamiento...). El brevísimo capítulo 16 está dedicado a formalizar la idea de demostrar la independencia.

(1) En esencia, propone lo siguiente: que $\Phi$ sea un fragmento finito de ZFC. Entonces, por el principio de reflexión (que es un esquema teórico en ZFC), existe un conjunto $M$ que modela $\Phi$ . En particular, hay un $V_{\lambda}$ para algún ordinal límite $\lambda$ que satisface esto, y por lo tanto es incluso transitivo.

(2) Ahora que tenemos un modelo transitivo de $\Phi$ podemos aplicar el colapso de Mostowski (siempre que $\Phi$ contiene el axioma de Extensionalidad, ya que entonces $M$ es extensional) para obtener un modelo transitivo contable $M'$ de $\Phi$ . Esto también es un teorema de ZFC ya que $M$ y su colapso transitivo $N$ son necesariamente ambos conjuntos, y también lo es el isomorfismo único $\pi$ .

(3) Por último, si ahora podemos ampliar $M'$ a algunos $M'[G]$ utilizando, por ejemplo, el forzamiento, de modo que $M'$ satisface alguna frase adicional $\varphi$ entonces podemos deducir por compacidad que $\text{ZFC} + \varphi$ tiene un modelo, y por lo tanto es consistente.

Sólo para aclarar: Esta aplicación de la compacidad debe ocurrir en la metateoría, ya que de lo contrario ZFC demostraría que tiene un modelo. (Esta contradicción, si entiendo bien, ya aparecería justo después del paso (2), ya que el principio de reflexión implicaba que cualquier fragmento finito de ZFC tiene un modelo.

¿Es válido este razonamiento?

Answer 1

Parece que tienes razón en que el argumento está enmarcado como una aplicación de la compacidad en la metateoría. La cuestión no es que la compacidad sólo pueda aplicarse en la metateoría en general: es un teorema de ZFC. Más bien, la cuestión es que el teorema de la reflexión no es un teorema de ZFC, sino un esquema de teoremas. Nos da "para cada subteoría finita T de ZFC, ZFC demuestra Con(T)", no "ZFC demuestra 'para cada subteoría finita T de ZFC, Con(T)'". Tienes razón en que si esto último fuera el caso, la compacidad (en ZFC) produciría una contradicción con la incompletitud.

(HT a Noah Schweber, que escribió algo como lo que acabo de escribir sobre el teorema de la reflexión en una respuesta, pero lo borró, presumiblemente para dejarme toda la gloria. Pensé que debía incluirlo porque parece que podría ser un punto de confusión).

Sin embargo, aquí no es necesario utilizar el teorema de la compacidad en la metateoría. Todo lo que necesitas es su análogo sintáctico mucho más simple que dice que cualquier prueba de inconsistencia vendría de un número finito de axiomas.

Si hubiera una prueba de inconsistencia de ZFC + $\varphi,$ que utilice los axiomas $A_1,\ldots, A_n$ de ZFC. Entonces sólo hay que confirmar que la prueba de que la extensión forzada satisface $A_1,\ldots, A_n, \varphi$ sólo depende de que el modelo básico satisfaga un número finito de axiomas ZFC $A_1',\ldots, A_m'.$

Entonces, podríamos producir una contradicción en ZFC utilizando el teorema de la reflexión para demostrar que existe un modelo transitivo contable de $A_1',\ldots, A_m',$ entonces demuestre que existe una extensión forzada que satisface $A_1,\ldots A_n,\varphi,$ y luego relativizar la prueba de contradicción a la extensión forzada, lo que equivale a una prueba de contradicción.

(Puede ver esta última parte como el uso de la solidez teorema de la metateoría, que es un teorema mucho más débil y finito que el teorema de la compacidad).