Validar un argumento con si y sólo si

Question

¿Cómo podría validar este argumento?

$p \iff q$
$r \vee q$
$\neg r$
$\overline{\therefore \neg p\quad}$

¿Es válido o inválido?

Yo diría que este argumento no es válido, porque r o q no significa si y sólo si

Answer 1

Efectivamente, tienes razón en que el argumento no es válido.

Locales:

$p \leftrightarrow q \equiv \color{blue }{\bf (p \rightarrow q) \land (q\rightarrow p)}\tag{1}\\$ $r \lor q \equiv \color{red}{\bf \lnot r \rightarrow q}\tag{2}\\$ $\color{red}{\bf \lnot r}\tag{3}$

A partir de la segunda premisa: podemos utilizar el lado izquierdo de $(2)$ o el lado derecho. Si te sientes más cómodo con el modus ponens, podemos usar el lado derecho: $\color{red}{\bf \lnot r \rightarrow q}$ . Entonces con la tercera premisa: $\color{red}{\bf \lnot r},\;$ podemos concluir $\color{red}{\bf q}$ , por modus ponens .

Pero fíjate: desde el lado izquierdo de la premisa $(2)$ : $\;\bf{r \lor q}\,$ junto con la tercera premisa $\,\bf{\lnot r},\,$ podemos derivar/deducir/inferir $\,\bf q\;$ invocando la regla de inferencia válida a veces llamada silogismo disyuntivo .

Así que tenemos $\color{blue}{\bf q},\,$ y de simplificación de la primera premisa, tenemos $\color{blue}{\bf q\rightarrow p}$ .

Desde $\color{blue}{\bf q \rightarrow p}, \;\text{and}\;\color{blue}{\bf q},\,$ tenemos por tanto la inferencia válida $\,\color{blue}{\bf p},\,$ por modus ponens de nuevo .

Así que tienes razón en que la conclusión $\,\lnot p\,$ es inválido

Answer 2

$r\vee q$ le dice que al menos uno de $r,q$ es cierto, $\neg r$ dice que $r$ es falso, por lo tanto $q$ es cierto.

$p\iff q$ le dice que ambos $p,q$ son verdaderos o ambos son son falsos, pero $q$ es verdadera y, por tanto, también lo es $p$ .

Answer 3

Desde $(r \vee q) \wedge \neg r$ debe ser el caso que $q$ es cierto.

Entonces, como $(p \iff q) \wedge q$ debe ser el caso que $p$ es cierto.

Por lo tanto, el argumento que las premisas implican $\neg p$ no es válido.

Answer 4

Si un argumento se califica como válido, entonces si todas las premisas se califican como verdaderas, también lo será su conclusión. Si un argumento no se califica como verdadero, entonces todas sus premisas pueden ser verdaderas, mientras que su conclusión puede calificarse como falsa.

Entonces, supongamos que todas las premisas aquí son ciertas.

Por lo tanto, ¬r se califica como verdadero. Por lo tanto, r se califica como falso. Como r se califica como falso, y (r∨q) se califica como verdadero, esto implica que q es verdadero. Dado que (p⟺q) se califica como verdadero también por suposición, entonces p se califica como verdadero. Pero, entonces ¬p se califica como falso. En consecuencia, el argumento no es válido.