Independencia lineal de los números $\{1,\pi,{\pi}^2\}$

Question

¿Alguien conoce una prueba de que $\{1,\pi,{\pi}^2\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb{Q}$ ?

La prueba no debe utilizar ese $\pi$ es trascendental.

$\{1,e,e^2,e^3\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb{Q}$

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

Editar_1 : Efectivamente, algo está mal. He encontrado el error. El truco principal utilizado a continuación no es correcto: $$e^{2\pi^2i}=(e^{2\pi i})^\pi=1^\pi=1=e^{2k\pi i}$$ Pero entonces $2\pi^2 = 2k\pi$ para algunos $k\in\Bbb Z$ para que $\pi=k\in \Bbb Z$ que no es posible. No estoy seguro de cuál es el error. Creo que debe ser debido a $1^\pi =1$ es decir, esto sólo es cierto en $\Bbb R$ pero estamos en $\Bbb C$ .

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He pensado en una posible solución, pero no estoy seguro de si he hecho "trampa" en alguna parte. Supongo que lo mejor es publicar mis ideas.

Supongamos que $$\alpha\pi^2+\beta\pi+\gamma=0$$ para algunos $\alpha,\beta,\gamma\in \Bbb Q$ . Nuestro objetivo es demostrar que $\alpha=\beta=\gamma=0$ . Sea $D$ sea el común denominador de $\alpha,\beta,\gamma$ y multiplicando por $D$ podemos suponer que $$a\pi^2+b\pi+c=0$$ para algunos $a,b,c\in \Bbb Z$ . Entonces: $$\begin{align*} 2(a\pi+b)\pi i &= -2c i\\ e^{2(a\pi+b)\pi i} &= e^{-2c i}\\ (e^{2\pi i})^{a\pi +b} &= e^{-2c i}\\ 1^{a\pi+b} &= e^{-2c i}\\ 1 &= e^{-2c i}\\ 2k\pi i &= -2c i, \quad k\in \Bbb Z\\ -k\pi &= c \end{align*}$$ Una posibilidad es que $k\neq 0$ . Entonces $$\pi=-\frac{c}{k}\in\Bbb Q$$ Sin embargo, supongamos primero que $\pi$ es irracional. Entonces debemos tener $k=0$ y por lo tanto $c=0$ . Por lo tanto, la ecuación se convierte en $$\begin{align*} a\pi^2+b\pi &=0\\ a\pi+b &= 0 \end{align*}$$ desde $\pi$ es irracional, una vez más debemos tener $a=0$ y $b=0$ lo que demuestra que $\{1,\pi,\pi^2\}$ es linealmente independiente sobre $\Bbb Q$ . Por lo tanto, el problema se reduce a demostrar que $\pi$ es irracional. Podemos referirnos al pruebas estándar por este hecho.