El título es vago, mi pregunta real es la siguiente:
¿Se han estudiado sistemáticamente las representaciones de los groupoides? ¿Hay algún fenómeno nuevo, comparado con la representación de grupos? (Ya sea cosas nuevas o escollos para los que están demasiado familiarizados con las representaciones de grupos). ¿Simplifica este punto de vista alguna demostración de teoremas en la representación de grupos?
Sólo he pensado en esto durante 15 minutos. Pero siento que podría ser útil pensar en la representación de groupoides por las siguientes razones:
-
Cuando se habla de sistemas locales, pensar en ello como "representación del grupo fundamental" parece más natural que hablar de "representación del grupo fundamental".
-
Cuando hablamos de módulos sobre pilas, si elegimos una presentación de la pila (que es un groupoide), ¿podemos tratar un módulo dado como una representación del groupoide? (Al igual que los módulos sobre BG dan representaciones de G.) Será interesante estudiar cuándo dos representaciones dan el "mismo" módulo.
0 votos
¿No es lo mismo una representación de un grupoide que una representación del carcaj correspondiente?
2 votos
Qiaochu: Pensar en una representación de un groupoide como una representación de un carcaj significa forzar que un montón de mapas lineales sean isomorfismos. Esto elimina muchos de los comportamientos interesantes de las representaciones quiver, y no aprovecharía el hecho de que tenemos un montón de mapas lineales invertibles. Así que creo que este lenguaje no serviría de mucho.
5 votos
Sí, estos se estudian. Para 1: Al igual que todo grupo puede descomponerse hasta la equivalencia natural como una colección de componentes con una clase de isomorfismo de grupo por componente, una representación del mismo es equivalente a una representación por componente. Es, sí, un formalismo práctico para las representaciones naturales de $\pi_1$ . Para 2: Dada una presentación de una pila por afines, las gavillas cuasicoherentes en la pila pueden describirse en términos de lo que se llama códulos, y ciertos tipos de topólogos algebraicos los estudian todo el tiempo.
0 votos
@Tyler: Para la 2, creo que esta descripción es un caso especial del teorema de Barr-Beck ¿no? Y si además requieres la condición de semiseparación, puedes hablar de comodule over coalgebra.
0 votos
@Taler: ¿Puedes detallar la 2?
1 votos
@Tyler: Me pregunto si te refieres al siguiente formalismo general: Supongamos que $C_{X}$ es la categoría de las láminas casi coherentes sobre la pila $X$ (o un espacio más general). Otras suposiciones que $X$ es cuasi compacto y cuasi separado. Tenemos una colección de morfismos afines finitos $U_{i}\rightarrow X$ . Entonces tenemos $U=\coprod U_{i}\rightarrow X$ . Entonces $Qcoh_{U}=\coprod Qcoh_{U_{i}}=A_{U}-mod$ donde $A_{U}=\prod O_{U}(U_{i})$ . Y luego usamos el teorema de Beck para la comónada. Obtenemos: $Qcoh_{X}=\mathfrak{G}-Comod$ si además requerimos la pila $X$ (o "espacio" general) es semiseparado
1 votos
Entonces comonad $\mathfrak{G}$ = $M\bigotimes_{A_{U}} -$ donde $M$ es un bimódulo ( $A_{U}\bigotimes_{k} A_{U}^{op}-mod$ ). En otras palabras, $(M,\delta)$ es una álgebra en la categoría monoidal de $A_{U}\bigotimes_{k} A_{U}^{op}-mod$ donde $\delta$ : $M\rightarrow M\bigotimes_{A_{U}} M$ .
0 votos
Qiaochu: Una representación de grupoide es un tipo especial de representación del carcaj subyacente. Una representación de un grupo es un functor del grupo a la categoría Vect de espacios vectoriales, pero una representación del carcaj es un functor de la categoría libre del carcaj a Vect. Así que la diferencia es que si tienes dos morfismos componibles $f$ y $g$ una representación de un grupo debe satisfacer $\rho(f \circ g) = \rho(f) \circ \rho(g)$ pero una representación del carcaj subyacente no tiene por qué satisfacerlo. No creo que ver las representaciones de los groupoides como representaciones especiales del quiver sea...
0 votos
Qiaochu (cont.): ... particularmente útil, por ejemplo, ¡no creo que la gente haga eso para las representaciones de grupos! Nunca he escuchado a alguien decir que una representación de G es sólo una representación del monoide libre sobre el conjunto de elementos de G tal que (fg)=(f)(g); no parece ser una observación útil. Ni siquiera considerar que las representaciones de G son representaciones especiales del grupo libre sobre el conjunto G parece útil, por lo que sé.