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Representación de los Groupoides

El título es vago, mi pregunta real es la siguiente:

¿Se han estudiado sistemáticamente las representaciones de los groupoides? ¿Hay algún fenómeno nuevo, comparado con la representación de grupos? (Ya sea cosas nuevas o escollos para los que están demasiado familiarizados con las representaciones de grupos). ¿Simplifica este punto de vista alguna demostración de teoremas en la representación de grupos?

Sólo he pensado en esto durante 15 minutos. Pero siento que podría ser útil pensar en la representación de groupoides por las siguientes razones:

  1. Cuando se habla de sistemas locales, pensar en ello como "representación del grupo fundamental" parece más natural que hablar de "representación del grupo fundamental".

  2. Cuando hablamos de módulos sobre pilas, si elegimos una presentación de la pila (que es un groupoide), ¿podemos tratar un módulo dado como una representación del groupoide? (Al igual que los módulos sobre BG dan representaciones de G.) Será interesante estudiar cuándo dos representaciones dan el "mismo" módulo.

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¿No es lo mismo una representación de un grupoide que una representación del carcaj correspondiente?

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Qiaochu: Pensar en una representación de un groupoide como una representación de un carcaj significa forzar que un montón de mapas lineales sean isomorfismos. Esto elimina muchos de los comportamientos interesantes de las representaciones quiver, y no aprovecharía el hecho de que tenemos un montón de mapas lineales invertibles. Así que creo que este lenguaje no serviría de mucho.

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Sí, estos se estudian. Para 1: Al igual que todo grupo puede descomponerse hasta la equivalencia natural como una colección de componentes con una clase de isomorfismo de grupo por componente, una representación del mismo es equivalente a una representación por componente. Es, sí, un formalismo práctico para las representaciones naturales de $\pi_1$ . Para 2: Dada una presentación de una pila por afines, las gavillas cuasicoherentes en la pila pueden describirse en términos de lo que se llama códulos, y ciertos tipos de topólogos algebraicos los estudian todo el tiempo.

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Jon Galloway Puntos 320

A representación de cualquier objeto categórico (por ejemplo, "groupoide" = "categoría 1 con sólo isomofismos") es simplemente un functor (bonito) de ese objeto a la categoría de Espacios Vectoriales. Entonces, como señala Chris, la teoría de la representación abstracta de los groupoides se reduce esencialmente a la teoría de la representación de los grupos.

La historia se enriquece mucho en la categoría de Mentira, porque entonces hay que pedir que la representación sea suave. La historia no se ha contado completamente, e incluso las partes que se han contado no las conozco bien. Para ver una pista sobre algunos de los comportamientos interesantes, véase http://front.math.ucdavis.edu/0810.0066 . No sé nada de la categoría algebraica, pero creo que ahí también hay cosas interesantes (por lo que veo, las pilas algebraicas son más complicadas que las lisas).

Espero que alguien que conozca la literatura mejor que yo pueda decir algo más.

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botismarius Puntos 1333

La definición "clásica" de una representación de un grupo de Lie es bastante similar a la de un grupo de Lie. Para una representación de un grupo de Lie, se parte de un espacio vectorial $V$ y definimos una representación como un homomorfismo suave $G \to Gl(V)$ . Dado un grupo de LieOID $G \rightrightarrows M$ para formar una representación (clásica) de $G$ , hay que empezar no con un espacio vectorial $V$ pero con un vector BUNDLE $V \to M$ . Entonces, desde $V$ se puede construir un grupo de Lie $Gl(V) \rightrightarrows M$ (las flechas son isomorfismos lineales entre las fibras de V). Una representación para $G$ es simplemente un homomorfismo de grupo de Lie $G \to Gl(V)$ .

Cabe señalar que esta noción de representación es en cierto modo "demasiado estricta". Giorgio Trentinaglia sostiene que, en su lugar, habría que sustituir los haces vectoriales lisos por objetos más generales, a los que llama "campos euclidianos lisos". En este contexto, demuestra una versión de la dualidad de Tannaka para los grupos de Lie adecuados. Se puede leer sobre esto en su artículo:

Tannaka duality for proper Lie groupoids, Journal of Pure and Applied Algebra.

También hay un arxiv versión de esto.

Es más, aquí hay un enlace a su tesis que debería proporcionar aún más detalles:

http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2008-0904-200909/trentinaglia.pdf

6voto

Niyaz Puntos 16307

Todo grupoide es equivalente a una unión disjunta de grupos. De hecho, la inclusión de la sub-2-categoría de uniones disjuntas de grupos en todos los groupoides es una equivalencia. De ahí que la teoría de la representación de los groupoides se reduzca a la de los grupos.

4 votos

Creo que estás siendo demasiado drástico. Por ejemplo, si nuestro groupoide es compacto (y topológico) ¿qué tipo de representaciones hay que considerar? ¿Representaciones continuas sobre campos continuos de espacios de Hilbert? ¿En qué sentido es continuo? O si es liso, sería natural considerar representaciones lisas (en algún sentido apropiado). Tengo la impresión de que a menudo hay diferentes opciones disponibles, todas ellas razonables y con diferentes comportamientos, y que los resultados disponibles son parciales. El caso de Lie se ha estudiado, por ejemplo, en < arxiv.org/abs/0809.3394 >.

4 votos

Permítanme que lo aclare. Lo que he dicho sólo es cierto en el entorno discreto, es decir, sin topología alguna. Suponía que éste era el caso al que se refería la pregunta original. En presencia de topología (o estructura suave), no se puede reducir al caso de grupo. También se convierte en una cuestión sutil lo que se supone que es exactamente una representación.

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Por ejemplo, en el caso topológico, cualquier espacio es un grupito (con sólo morfismos de identidad). ¿Qué es una representación de un espacio? En el entorno algebraico, ¿qué es una representación de un esquema? Estas no tienen respuestas claras, todavía.

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Luc Hermitte Puntos 14171

La gente de la teoría de operadores estudia mucho esto. Mira los apuntes de la conferencia de Springer de Jean Renault sobre las álgebras C* de los grupoides o el libro de Alan Paterson: Groupoids, Inverse Semigroups and their operator algebras. Aquí utilizan los haces de Hilbert para definir las representaciones.

Creo que en el caso finito los groupoides dan una buena visión de las representaciones inducidas. Si se tiene un subgrupo H de un grupo G, entonces G tiene un groupoide de cobertura correspondiente a H. Es la categoría de elementos para la acción de G sobre G/H. El grupoide de cobertura es naturalmente equivalente a H y por lo tanto tiene la misma teoría de la representación que H. Ahora la categoría de representaciones del grupoide de cobertura es la categoría de módulos del álgebra de la categoría correspondiente ya que hay finitamente muchos vértices. Existe un homomorfismo de G a esta categoría álgebra que envía un elemento g a la suma de sus preimágenes bajo el morfismo de cobertura. Es fácil ver que si se parte de una representación de H, se toma la representación correspondiente del groupoide de cobertura, se convierte en la representación del álgebra de categoría del groupoide y se compone con el homomorfismo de G anterior, se obtiene la representación inducida.

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AFK Puntos 3974

Los Groupoïds no aportan mucho en teoría, pero simplifican mucho algunas afirmaciones y a veces son necesarios para obtener alguna intuición.

Un ejemplo típico es el teorema de Van Kampen. Para expresarlo en términos de grupos fundamentales $\pi_1(X,x)$ hay que elegir un punto base para cada componente conectado. Sin embargo, en términos de grupos fundamentales, es elemental: $\Pi_1(X\cup_Z Y) = \Pi_1(X) *_{\Pi_1(Z)} \Pi_1(Y) $ .

La razón por la que el enunciado habitual del teorema es equivalente a éste es que todo grupo es equivalente a una suma disjunta de grupos. Pero equivalente no significa igual; isomorfo no significa canónicamente isomorfo. Una afirmación sobre los grupos se traduce en una afirmación sobre los grupos hasta la conjugación y este tipo de sutileza puede resultar muy complicada (y/o interesante) en la práctica.

La teoría de Deligne sobre el grupo fundamental unipotente motivacional "Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points" ofrece una gran ilustración de este hecho. Da una teoría de los grupos y sus representaciones en las categorías fibrosas. También muestra que incluso en el caso elemental de $P^1- \{ 0,1,\infty \}$ hay que trabajar con los grupos fundamentales para entender realmente los aspectos aritméticos de los grupos fundamentales.

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Ciertamente no soy un fanático de los groupoides, pero estoy de acuerdo con la afirmación de que pueden hacer que las afirmaciones y a veces las pruebas sean mucho más simples. Consideremos, por ejemplo, el resultado de G. Yu de que los grupos generados finitamente que se incrustan de forma grosera en el espacio de Hilbert satisfacen la conjetura de Novikov (véase Guoliang Yu, The coarse Baum-Connes conjecture for spaces which admit a uniform embedding into Hilbert space. Invent. Math. 139 (2000), nº 1, 201-240): la prueba original es realmente técnica y difícil de entender. (Continúa en el siguiente comentario)

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Por otra parte, la segunda prueba del resultado de Yu (véase Skandalis, G.; Tu, J. L.; Yu, G. The coarse Baum-Connes conjecture and groupoids. Topology 41 (2002), no. 4, 807-834) separa claramente el papel de los groupoides generales localmente compactos y de los asociados a los espacios métricos gruesos, y ayuda a comprender mejor la situación.

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Sólo decir que el aparente enunciado de YBL del teorema de van Kampen implica productos y debe ser modificado. Me metí en el mundo de los grupoides en los años sesenta porque me molestaba que el teorema de van Kampen, tal y como lo formuló Crowell, no pudiera calcular el grupo fundamental de un ejemplo básico en topología, el círculo unitario. Un encuentro con George Mackey en 1967 en Swansea, en el que me habló de su trabajo sobre la teoría ergódica utilizando groupoides, y por tanto desde una dirección totalmente diferente a la mía, me sugirió que había más en esto de lo que parecía. Y el trabajo de Mackey influyó directamente en el de Connes.

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