Marco teórico de la categoría para mapas de haces vectoriales en diferentes variedades

Question

Me preguntaba si existe un marco teórico categórico natural que encapsule la idea de los mapas de haces vectoriales entre diferentes variedades. Por supuesto, tenemos la categoría $\mathbf{Diff}$ de las variedades suaves, y para cualquier $M\in\mathbf{Diff}$ tenemos la categoría $\mathbf{Vec}(M)$ de $\mathbb R$ -vectores sobre $M$ . Pero, ¿existe una forma natural de considerar los mapas de paquetes $E\to F$ dado $f:M\to N$ en $\mathbf{Diff}$ y con $E\in\mathbf{Vec}(M)$ y $F\in\mathbf{Vec}(N)$ ? Posiblemente podríamos dejar que $\mathbf{Vec}(\mathbf{Diff})$ tienen como objeto las categorías $\mathbf{Vec}(M)$ aunque esto deja la cuestión de cuáles son los morfismos naturales.

No estoy muy familiarizado con la teoría de las categorías superiores, pero ¿sería el marco apropiado para esto el de una $2$ -¿categoría?

Answer 1

Dado un haz de vectores $\pi : E \to M$ en $M$ un haz vectorial $\rho : F \to N$ en $N$ y un mapa $f : M \to N$ una noción natural de un morfismo de $E$ a $F$ es un mapa $g : E \to F$ tal que $\rho \circ g = \pi \circ f$ como en el siguiente diagrama: $$\begin{matrix} E & \overset{g}{\to} & F \\ {\scriptsize \pi} \downarrow && \downarrow {\scriptsize \nu} \\ M & \underset{f}{\to} & N \end{matrix}$$ Por la propiedad universal de los pullbacks, esto equivale a decir que $g$ es un mapa $E \to f^*F$ en $M$ , donde $f^*F$ es el haz de retroceso de $F$ a lo largo de $f$ .