Dado $R$ es un anillo, y $b$ es un número entero positivo tal que $x + x^{2b + 1} = x^{2b} + x^{10b + 1}$ para todos $x \in R$ , demuestre que $R$ es booleano, es decir $x =x^2$ para todos $x$ en $R$ .
No estoy seguro de por dónde empezar con el problema, y qué vía de aproximación debo tomar para que mi metodología sea inclusiva para todos $x$ en R. ¿Sería factible convertir este problema en forma de matriz, y luego probar $A = A^2$ ?
Este tipo de problema suele sucumbir ante algún tipo de "elección inteligente" de $x$ para conectar y manipular. No tengo una respuesta completa para usted, pero aquí está la sugerencia de Bill para mostrar que tal anillo tiene característica $2$ (condición necesaria para ser booleano). Sea $a\in R$ . Evaluación de la identidad en $a$ y en $-a$ tenemos: \begin{align*} a + a^{2b+1} &= a^{2b} + a^{10b+1}\\ -a -a^{2b+1} &= a^{2b} - a^{10b+1} \end{align*} Sumando ambas igualdades obtenemos $2a^{2b}=0$ . Ahora, utilizando el hecho de que $a=a^{2b}+a^{10b-1}-a^{2b+1}$ tenemos: $$2a = 2a^{2b} + 2a^{10b-1}-2a^{2b+1} = 0 + 2a^{2b}a^{8b-1} - 2a^{2b}a = 0,$$ así que para todos $a\in R$ tenemos $a+a=0$ .
No tengo ninguna manipulación inteligente que sugerir para probar $a=a^2$ para todos $a$ por desgracia. Anoche probé algunos y no conseguí nada.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
