Prueba $\ell_{ki}\ell_{kj}=\delta_{ij}$

Question

Prueba $\ell_{ki}\ell_{kj}=\delta_{ij}$

donde $\{\hat{\mathbf{e}}_i\}$ y $\{\hat{\mathbf{e}}_i'\}$ son conjuntos de vectores base ortonormales para $i\in\{1,2,3\}$ , $\ell$ son los cosenos de dirección tales que $\ell_{ij}=\cos{(\hat{\mathbf{e}}_i',\hat{\mathbf{e}}_j)}=\hat{\mathbf{e}}_i'\cdot\hat{\mathbf{e}}_j$ y $\delta$ es la función delta de Kronecker tal que $$\delta_{ij}=\begin{cases} 1, i=j\\ 0, i\ne j\end{cases}$$ Se utiliza la notación indicial (índices libres e índices ficticios y convenciones de suma asociadas). No estoy seguro de la universalidad de la notación, pero estoy utilizando la notación de "The Linearized Theory of Elasticity" de William S. Slaughter. Creo que he proporcionado todo lo necesario, pero por favor, pregunte si cree que me falta información.

Sé que al final voy a tener que reducir el problema a $\ell_{ki}\ell_{kj}=\hat{\mathbf{e}}_i\cdot\hat{\mathbf{e}}_j=\delta_{ij}$ o $\ell_{ki}\ell_{kj}=\hat{\mathbf{e}}_i'\cdot\hat{\mathbf{e}}_j'=\delta_{ij}$ . Y entiendo cómo probar $\ell_{ik}\ell_{jk}=\delta_{ij}$ : $$\begin{align*} \ell_{ik}\ell_{jk}&=(\hat{\mathbf{e}}_i'\cdot\hat{\mathbf{e}}_k)\ell_{jk}\\ &=\hat{\mathbf{e}}_i'\cdot(\ell_{jk}\hat{\mathbf{e}}_k)\\ &=\hat{\mathbf{e}}_i'\cdot\hat{\mathbf{e}}_j'\quad(\text{because in general }\hat{\mathbf{e}}_i'=\ell_{ij}\hat{\mathbf{e}}_j)\\ &=\delta_{ij} \end{align*}$$

Sin embargo, cuando intento seguir el mismo tipo de sustituciones parece que me encuentro con un callejón sin salida. ¿Puede alguien darme una pista, no una solución completa? Me gustaría resolverlo por mi cuenta.

EDIT: Creo que tengo que usar $\hat{\mathbf{e}}_i=\ell_{ji}\hat{\mathbf{e}}_j'$ Sin embargo, todavía estoy trabajando en esa ruta.

Answer 1

Sí, tuve que reescribir todo y empezar en un nuevo papel antes de darme cuenta de que la transformación inversa EDITADA era relevante.

La prueba es la siguiente: $$\begin{align*} \ell_{ki}\ell_{kj}&=(\hat{\mathbf{e}}_k'\cdot\hat{\mathbf{e}}_i)\ell_{kj}\\ &=(\ell_{kj}\hat{\mathbf{e}}_k')\cdot\hat{\mathbf{e}}_i\\ &=\hat{\mathbf{e}}_j\cdot\hat{\mathbf{e}}_i\quad(\text{because of my edited relationship in the question})\\ &=\delta_{ji}\\ &=\delta_{ij} \end{align*}$$

Answer 2

Hay una prueba más sencilla. Como se está transformando de un conjunto de coordenadas cartesianas ortonormales a otro, el cambio de la matriz base $[l]$ es ortogonal (su transposición es también su inversa).

Así, $[l][l]^T = [l]^T[l]=[I]$ .

Claramente entonces, $l_{kj}l_{ki}$ = $l^T_{ik}l_{kj} = \delta_{ij}$ ya que esto es sólo el producto de la matriz $[l]^T [l]$ en los componentes.