Mostrar : $(m,n)=1\implies(mx+ny,mn)=(m,y)(n,x)\;\forall x,y\in\mathbb Z$ .

Question

Pensé que la mejor manera de hacerlo sería mostrar que $(m,y)(n,x) \mid (mx+ny,mn)$ y $(mx+ny,mn) \mid (m,y)(n,x)$ . Hasta ahora he hecho lo siguiente:

Desde $\mathbb{Z}$ es un dominio euclidiano, $\exists s,t\in\mathbb Z$ s. t. $(mx+ny,mn)=(mx+ny)s +mnt = mxs+nys+mnt = (m,y)(n,x)\left(\frac{mxs+nys+mnt}{(m,y)(n,x)}\right)$ . Así, $(m,y)(n,x) \mid (mx+ny,mn)$ ya que $\frac{mxs+nys+mnt}{(m,y)(n,x)} \in \mathbb{Z}$ .

$\exists a,b,c,d\in\mathbb Z$ s.t. $(m,y) = ma+yb\;\&\;(n,x) = nc+xd$ .

Entonces, $(m,y)(n,x)= (ma+yb)(nc+xd)=mnac+mxad+nybc+xybd$ .

Desde aquí no veo ninguna forma de demostrar que $(mx+ny,mn) \mid (m,y)(n,x)$ . Si alguien pudiera dar alguna pista se lo agradecería, ¡gracias!

Answer 1

Un factor de $mn$ está en $m$ o en $n$ ya que $(m,n)=1$ . Si está en $m$ y también en $mx+ny$ pero no en $n$ entonces debe estar en $y$ y, por tanto, también en $(m,y)$ . Por lo tanto, todos los factores en $(mx+ny,mn)$ están en $(m,y)$ . Igualmente para $(n,x)$ . De ello se desprende que $(mx+ny,mn)\mid(m,y)$ y $(mx+ny,mn)\mid(n,x)$ y cualquiera de los dos es suficiente para mostrar $(mx+ny,mn)\mid(m,y)(n,x)$ .

Answer 2

Por Euclides & $\,(\color{#c00}{m,n})=1\!:$ $\ \ \begin{align} \color{#0a0}{(mx\!+\!ny,m)} &=\:\! (\color{#c00}ny,\color{#c00}m) = \color{#0a0}{(y,m)}\\ (mx\!+\!ny,n)\ &= (\color{#c00}mx,\color{#c00}n) = (x,n) \end{align}$

Así que $\,(\underbrace{mx\!+\!ny}_{\large a},mn) = \underbrace{\color{#0a0}{(y,m)}}_{\large \color{#0a0}{(a,m)}}\underbrace{(x,n)}_{\large (a,n)}\ $ por $\ (a,m)(a,n) = (a(a,\color{#c00}{m,n}),mn) = (a,mn)$