Distancia de rotación

Question

Ahora mismo estoy trabajando en un proyecto de visión por ordenador y voy a reconocer marcadores fiduciales, he creado un banco de pruebas de simulación para comparar la precisión de diferentes métodos. Por ejemplo, rotaré los marcadores y luego trataré de obtener la rotación (orientación) del marcador a partir de las imágenes capturadas.

El marcador siempre gira alrededor del eje z, con los siguientes ángulos de euler:

$r_{gt} = [\alpha_0, \beta_0, \gamma_0]$

digamos que hemos reconocido el amrker en la imagen con la siguiente orientación respecto a la coordenada mundial (ambas orientaciones se midieron respecto a la coordenada mundial)

$r_{i} = [\alpha_i, \beta_i, \gamma_i]$

$d(r_0, r_i) = ?$

Ahora mi pregunta es ¿cómo puedo medir la distancia entre las dos rotaciones? Distancia de cuaterniones .

¡Por favor, si da una respuesta también dé el enlace de referencia, donde puedo investigar sobre este tema!

Answer 1

Los ángulos de Euler no son buenos para calcular las métricas, ya que no tienen simetrías adecuadas. Sugiero (ya que la pregunta está etiquetada en quaternions ) convierte sus dos orientaciones en cuaterniones $p$ y $q$ . Entonces:

En primer lugar, suponiendo que por distancia te refieras a la distancia entre dos rotaciones.

En segundo lugar, sabiendo que los cuaterniones tienen una doble cobertura del colector de rotación, es decir, $q$ y $-q$ representan la misma rotación.

Tercero, de segundo, decir que la "distancia" de cualquier cuaternión $q=(w,x,y,z)$ al cuaternión de identidad $(1,0,0,0)$ tiene sentido si $w>0$ . De lo contrario, para $w<0$ la distancia debe ser calculada a la "otra" identidad $(-1,0,0,0)$ que sí está más cerca; o de forma equivalente, se encontraría la distancia entre $-q$ y la verdadera identidad $(1,0,0,0)$ .

Cuarto, la distancia entre dos cuaterniones $p$ y $q$ se puede encontrar de la siguiente manera:

1. toma $r = p^* q$ el cuaternión que une $p$ a $q$ . La distancia de $p$ a $q$ es ahora igual a la distancia de $r$ a $(1,0,0,0)$ (o a $(-1,0,0,0)$ (ver Tercero arriba).
2. toma el tronco, $u\theta = \log(p^* q)$ , donde $u=[u_x,u_y,u_z]$ es un vector unitario que define el eje de rotación, y $\theta$ es la mitad del ángulo girado.
3. la distancia es el ángulo girado, $\phi=2\theta$ .

Nota: al tener cuaterniones unitarios $q=[\cos(\phi/2), u_x \sin(\phi/2), u_y \sin(\phi/2), u_z \sin(\phi/2)]$ el registro se puede encontrar por inspección, pero si sólo se busca la distancia, esta distancia $\phi$ se puede encontrar con sólo:

1. $r = p^* q$ como en el punto 1.
2. si $r_w<0$ hacer $r \gets -r$ (cambiar el signo del cuaternión $r$ ).
3. $\phi=2 \arccos(r_w)$ , donde $r_w$ es la parte real de $r$ .

Quinto. Se puede utilizar un atajo considerando sólo el doble del ángulo entre los dos cuaterniones vistos como 4'vectores, es decir $$\cos \theta = p^\top q \rightarrow \phi = 2\theta = 2\arccos (p^\top q)$$ Si $\cos\theta<0$ , cambia el signo de uno de los cuaterniones y vuelve a empezar.

Toda esta información se puede encontrar aquí https://arxiv.org/abs/1711.02508