¿Cuál sería el valor del límite $\lim _{x\to \infty} (\frac{3x +1}{3x-1})^{4x}$ ?

Question

¿Cuál sería el valor del límite $\lim _{x\to \infty} (\frac{3x +1}{3x-1})^{4x}$ ?

Mi idea inicial era dividir por x en el numerador y el denominador. Sin embargo, eso sólo resolvería el problema interior. ¿Cómo se puede manipular la potencia para evaluar el límite?

Answer 1

$$\left(\frac{3x +1}{3x-1}\right)^{4x}=\left[\frac{\left(1+\frac{1}{3x}\right)^{3x}}{\left(1-\frac{1}{3x}\right)^{3x}}\right]^\frac{4}{3}\to\left[\frac{e}{e^{-1}}\right]^{\frac{4}{3}}=e^\frac{8}{3}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\dfrac{3x+1}{3x-1}=1+\dfrac2{3x-1}$$

Utilice $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=e$$

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x +1}{3x-1}\right)^{4x}=\left[\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac2{3x-1}\right)^{\dfrac{3x-1}2}\right]^{\lim_{x\to\infty}\dfrac{2\cdot4x}{3x-1}}=?$$

Answer 3

Puede transformar la variable linealmente ( $3x-1=t$ ) para hacer desaparecer un término en el denominador y hacer la expresión más familiar.

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x+1}{3x-1}\right)^{4x}=\lim_{t\to\infty}\left(\frac{t+2}t\right)^{4(t+1)/3}=\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac2t\right)^{4t/3+4/3}.$$

Luego, con un reescalado, se elimina otro coeficiente

$$\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac2t\right)^{4t/3}\left(1+\frac2t\right)^{4/3}=\lim_{u\to\infty}\left(1+\frac1u\right)^{8u/3}\cdot1=\left(\lim_{u\to\infty}\left(1+\frac1u\right)^u\right)^{8/3}.$$