Es $W_0(A_1^*,A_2^*)=\overline{ W_0(A_1,A_2)}$ ?

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio de Hilbert complejo. Sea $A_1,A_2\in \mathcal{L}(E)$ . Dejemos que \begin{eqnarray*} W_0(A_1,A_2) &=&\{(\lambda_1,\lambda_2)\in \mathbb{C}^2;\;\exists\,(x_n)_n;\;\|x_n\|=1,\;(\langle A_1 x_n\; ,\;x_n\rangle,\,\langle A_2 x_n\; ,\;x_n\rangle)\to (\lambda_1,\lambda_2),\\ &&\phantom{++++++++++}\;\hbox{and}\;\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(\|A_1x_n\|^2+\|A_2x_n\|^2)=\|A_1\|^2+\|A_2\|^2\;\}. \end{eqnarray*}

Cómo demostrar que $$W_0(A_1^*,A_2^*)=\overline{ W_0(A_1,A_2)}:=\{(\overline{\lambda_1},\overline{\lambda_2});\;(\lambda_1,\lambda_2)\in W_0(A_1,A_2)\,\}?$$

Lo intento de la siguiente manera:

$(\lambda_1,\lambda_2)\in W_0(A_1^*,A_2^*)$ si y sólo si existe $(y_n)_n$ tal que $\|y_n\|=1$ , $(\langle A_1 y_n\; ,\;y_n\rangle,\,\langle A_2 y_n\; ,\;y_n\rangle)\to (\overline{\lambda_1},\overline{\lambda_2})$ y $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}(\|A_1^*y_n\|^2+\|A_2^*y_n\|^2)\rightarrow \|A_1\|^2+\|A_2\|^2$

Me quedé aquí, porque creo que $\|A_1^*y_n\|$ no es en general igual a $\|A_1y_n\|$ .

Si el resultado es falso, quiero construir un contraejemplo. Creo que es cierto sólo para los operadores normales.

¡Gracias!

Answer 1

Para $A_1,A_2$ normal, el resultado es trivial porque $\|A_j^*x_n\|=\|A_jx_n\|$ .

Sin la normalidad, el resultado no es verdadero. Por ejemplo, con $E=\mathbb C^2$ , dejemos que $A_1=E_{21}$ , $A_2=E_{11}$ . Debido a la dimensión finita, los límites en la definición de $W_0$ pueden tomarse como igualdades.

Si $\|x\|=1$ , $\|E_{21}x\|^2+\|E_{11}x\|^2=2$ entonces $x=(\mu,0)$ con $|\mu|=1$ . Así que $$ \langle E_{21}x,x\rangle=0,\ \ \ \langle E_{11}x,x\rangle=1. $$ Así que $$W_0(A_1,A_2)=\{(0,1)\}. $$ Para los adjuntos, las dos igualdades $\|x\|=1$ , $\|E_{12}x\|^2+\|E_{11}x\|^2=2$ son inconsistentes, ya que $\|E_{12}x\|^2+\|E_{11}x\|^2=\|x\|^2=1$ . Así que $$ W_0(A_1^*,A_2^*)=\varnothing. $$

Obsérvese que este ejemplo puede incrustarse en cualquier espacio de Hilbert de dimensión 2 o más.

Answer 2

Creo que no es cierto: dejemos $E=\mathbb{C}^1$ , $A_{1}=i\cdot\operatorname{id}$ y $A_{2}=0$ . Entonces $A_{1}^*=-i\cdot\operatorname{id}$ ,

$W_0(A_{1},A_{2})=\{(-i,0)\}$ pero $W_0(A_{1}^*,A_{2}^*)=\{(i,0)\}$ .

¿Quizás has olvidado la conjugación compleja?

Answer 3

Consideremos $A_1=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)$ and $A_2=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)$ . Obtenemos $W_{0}(A_1,A_2)=\{(1,0)\}$ . Sin embargo, $W_{0}(A_1^*,A_2^*)=\varnothing$ .