Cómo mostrar $c-b\lt b-a$

Question

La pregunta:

Dejemos que $G$ sea un semigrupo Arf y $a\lt b\lt c$ sean tres elementos consecutivos en $G$ . Cómo demostrar que $c-b\lt b-a$ y cómo demostrar que esto no es necesariamente así para todo semigrupo.

Nota

la definición de semigrupo arf

dejar $W=\{i_0 =0, i_1,...\}$ sea un semigrupo de enteros no negativos, donde $i_1\lt i_2\lt ...$ . Entonces $W$ es un semigrupo Arf si la colección $i_h-i_h=0$ , $i_{h+1}-i_h$ , $i_{h+2}-i_h$ ,... Es un semigrupo para todas las elecciones de $h\ge 0$

Lo que entiendo de la pregunta:

$a\lt b\lt c$ sean tres elementos consecutivos en $G$ . Eso es, el único elemento de $G$ en el intervalo real abierto $(a,c)$ es $b$

Y para mostrar $c-a\lt b-a$ Necesito mostrar los elementos de $G$ acercarse.

Pero, no puedo hacer esto. Por favor, ayúdenme a resolver esta cuestión. Gracias:)

Answer 1

Esto es falso y es irrelevante que $G$ tiene alguna estructura (excepto que es infinita).

$G = \{ i_0, i_1, \dots \} \subseteq {\mathbb N}$ con $i_0 < i_1 < i_2 < \dots$ y las preguntas piden que se demuestre que $i_1 - i_0 > i_2 - i_1 > i_3 - i_2 > \dots$ . Pero esto es imposible, ya que todos estos son números naturales.