¿Qué significa la "distancia de luminosidad" en un espaciotiempo general?

Question

En el artículo "Asymptotic Symmetries in Gravitational Theory" de R. Sachs de 1962, el autor dice lo siguiente:

En el análisis de los campos gravitatorios a veces es útil introducir coordenadas que comparten algunas propiedades de las coordenadas $u,r,\theta$ y $\phi$ . Las propiedades cruciales son: (i) las hipersuperficies $u = \text{constant}$ son en todas partes tangentes al cono de luz local; (ii) $r$ es la distancia de luminosidad correspondiente iii) los escalares $\theta$ y $\phi$ son constantes a lo largo de cada "rayo". Un rayo se define como la línea con tangente $k^a = -g^{ab}\partial_b u$ , donde $g^{ab}$ es el tensor métrico.

Afirma que en una vecindad de cualquier punto del espaciotiempo siempre existe un sistema de coordenadas que satisface (i)-(iii).

Estoy tratando de entender primero las propiedades. Las propiedades (i) y (iii) son sencillas. La primera propiedad significa que los conjuntos de niveles de la función $u$ son hipersuperficies nulas, por lo que las coordenadas se adaptan a tales submanifolds. La tercera propiedad significa que $\theta,\phi$ son constantes a lo largo de cada generatriz de la superficie.

Pero, ¿qué significa realmente la distancia de luminosidad? He buscado en Google y he encontrado algo sobre cosmología, pero no es el caso. Sachs dice que la construcción se puede hacer localmente en cualquier espacio-tiempo .

Mi suposición inicial fue: por definición $k^a$ es la normal nula a las superficies nulas. Por tanto, sabemos que existe un segundo campo vectorial nulo $\ell^a$ con $\ell_a k^a = -1$ . Mi opinión es que la "distancia de luminosidad" es el parámetro afín a lo largo de las geodésicas que en la hipersuperficie nula tienen tangente $\ell^a$ .

Pero podría estar totalmente equivocado. Entonces, ¿es correcta mi suposición? Si no es así, ¿qué significa rigurosamente decir que " $r$ es la correspondiente distancia de luminosidad" en un espaciotiempo general?

Answer 1

Las menciones a la cosmología en las referencias no limitan en absoluto la generalidad de las definiciones y, en cambio, proporcionan una razón para buscar medidas de distancia entre las fuentes astronómicas adecuadas para los "espaciotiempos generales": cuando las distancias se vuelven cosmológico hay menos suposiciones que puedan hacerse sobre la estructura del espaciotiempo.

Aquí hay una fuente que tiene una discusión sobre varias medidas de distancia, y tiene enlaces a los documentos originales:

• Perlick, V. (2004). La lente gravitacional desde la perspectiva del espacio-tiempo . Revistas vivas en relatividad, 7(1), 9, doi:10.12942/lrr-2004-9 .

De él se desprenden las siguientes definiciones (pp. 24-25 del pdf):

Distancia de luminosidad corregida.

La idea de definir las medidas de distancia en términos de secciones transversales de paquetes se remonta a Tolman [323] y Whittaker [351]. Originalmente, esta idea se aplicó no a los haces con vértice en el observador, sino a los haces con vértice en la fuente de luz. El análogo resultante de la distancia de área es el llamado distancia de luminosidad corregida $D^{'}_\text{lum}$ . Relaciona, para un haz con vértice en la fuente de luz, el área de la sección transversal en el observador con el ángulo sólido de apertura en la fuente de luz. Debido a la ley de reciprocidad de Etherington (35), la distancia de área y la distancia de luminosidad corregida están relacionadas por $$D^{'}_\text{lum}= (1 +z) D_\text{area}.\tag{47}$$ El factor de corrimiento al rojo tiene su origen en el hecho de que la definición de $D^{'}_\text{lum}$ se refiere a una parametrización afín adaptada a $U_\text{S}$ y la definición de $D_\text{area}$ se refiere a una parametrización afín adaptada a $U_\text{O}$ . Mientras que $D_\text{area}$ depende de $U_\text{O}$ pero no en $U_\text{S}$ , $D^{'}_\text{lum}$ depende de $U_\text{S}$ pero no en $U_\text{O}$ .

Distancia de luminosidad.

El significado físico de la distancia de luminosidad corregida se entiende más fácilmente en la imagen del fotón. Para los fotones emitidos isotrópicamente desde una fuente de luz, el porcentaje que alcanza una zona prescrita en el observador es proporcional a $1/(D^{′}_\text{lum})^2$ . Como la energía de cada fotón sufre un corrimiento al rojo, el flujo de energía en el observador es proporcional a $1/(D_\text{lum})^2$ , donde $$D_\text{lum}= (1 +z)D^{′}_\text{lum}= (1 +z)^2 D_\text{area}.\tag{48}$$ Así, $D_\text{lum}$ es la cantidad relevante para calcular la luminosidad (brillo aparente) de las fuentes luminosas puntuales (véase la ecuación (52)). Por esta razón $D_\text{lum}$ se llama el (no corregido) distancia de luminosidad . La observación de que la cantidad puramente geométrica $D^{′}_\text{lum}$ debe ser modificado por un factor adicional de corrimiento al rojo para dar el flujo de energía se debe a Walker [342]. $D_\text{lum}$ depende de la velocidad 4 $U_\text{O}$ del observador y de la velocidad 4 $U_\text{S}$ de la fuente de luz. $D_\text{lum}$ y $D^{'}_\text{lum}$ pueden verse como funciones de las coordenadas de observación $(s,Ψ,Θ,τ)$ si un campo vectorial $U$ con $g(U,U) =−1$ se ha distinguido una curva integral de $U$ se elige como observador, y las otras curvas integrales de $U$ se eligen como fuentes de luz. En ese caso, la ecuación (38) implica que no sólo $D_\text{area}(s)$ pero también $D_\text{lum}(s)$ y $D^{'}_\text{lum}(s)$ son de la forma $s+O(s^2)$ . Así, cerca del observador las tres medidas de distancia coinciden con la distancia euclidiana en el espacio de reposo del observador.

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Adición: Entre los obras originales Recomiendo que se busque en

• Kristian, J., y Sachs, R. K. (1966). Observaciones en cosmología . The Astrophysical Journal, 143, 379, reeditado en una serie de Golden Oldies de Gen. Rel. Grav. (acceso abierto) doi:10.1007/s10714-010-1114-1 , una nota editorial por G. Ellis en la reedición.

Y dado que R. Sachs es uno de sus autores, la definición que aparece allí debe ser la más cercana a la intención del autor en su artículo de 1962.