¿Un operador integral con un núcleo integrable simétrico tiene que estar acotado en $L^2$ ?

Question

Supongamos que $K(x,y)$ es un núcleo simétrico. Sea $\phi\in L^2(\Omega)$ , donde $\Omega$ en todas partes es un dominio en $R^n$ . Puede $\int_{\Omega}K(x,y)\,\phi(y)\,dy$ pertenecen a $L^2$ ? En otras palabras, ¿puede una desigualdad del tipo $$ \left\|\int_{\Omega}K(x,y)\,\phi(y)\,dy\right\|_{2} \leq \|K\|_{L^1(\Omega\times\Omega)} \|\varphi\|_{2} $$ ¿Existe?

Answer 1

Otro contraejemplo aunque $K \in L^1(\Omega \times \Omega)$ .

Considere $K(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{y}}$ . Y $\Omega \times \Omega = (0,1) \times (0,1)$ . Poner $\varphi \equiv 1$ en $(0,1)$ . Está claro que $\varphi \in L^2(0,1)$ . Entonces $$ \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{y}} dy\right)^2 dx = \int_0^1 \frac{1}{x} \left( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{y}} dy\right)^2 dx = 4 \int_0^1 \frac{1}{x} \left( \sqrt{y}|_0^1 \right)^2 dx = \\ 4 \int_0^1 \frac{1}{x} dx = +\infty. $$

(también está claro, que $K \in L^1(\Omega \times \Omega)$ ya que $$ \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{y}} dx dy = \left(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx \right)^2 = constant) $$