Demostrar que $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] \gt1$

Question

Tengo que demostrar que el grado $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{3}):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]$ es $\gt1$ .

Sé que para este propósito es suficiente mostrar que $\sqrt[3]{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ pero, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Puedes utilizar los rastros.

Supongamos que $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]3)$ y escribir $$ \sqrt[3]3= a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]4, $$ con $a,b,c\in\mathbb{Q}$ .

Utilizar la idea en un nota por K. Conrad, tenemos $$0 = Tr_Q^K \sqrt[3]3 = Tr_Q^K (a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]4)= 3a,$$ $$0 = Tr_Q^K \sqrt[3]6 = Tr_Q^K (a\sqrt[3]2+b\sqrt[3]4+c\sqrt[3]8)= 6c, \textrm{ (this is a typo on the note saying this is $ 6b $.)}$$ y $$0 = Tr_Q^K \sqrt[3]{12} = Tr_Q^K (a\sqrt[3]4+b\sqrt[3]8+c\sqrt[3]{16})= 6b.$$

Entonces tenemos $a=b=c=0$ para que $\sqrt[3]3 = 0$ . Esto es una contradicción.

Answer 2

Supongamos que $$\sqrt[3]3=a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]4$$ para algunos $a,b,c\in\Bbb Q$ y tratar de conseguir una contradicción.