Tengo $$y''-4y=0$$ Estoy tratando de llegar a la solución que es $$y=c_1 e^{2x}+c_2 e^{-2x}$$ Estoy en la etapa de $$\frac{1}{y}d^2y=4dx^2$$ Integrando ambos lados obtengo $$y(\ln(y)-1)=2x^2$$ ¿Estoy en la línea correcta? ¿A dónde voy a partir de aquí?
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Integración de $d^{2}y$ y $dx^{2}$ no está claro para mí. Propongo esta redacción: denotemos por $y''$ la segunda derivada de $y$ con respecto a $x$ . Multiplicando por $y'$ los dos lados de la ecuación dan como resultado $$y'y''=4yy'.$$ La integración formal nos da $$\frac{\left(y'\right)^{2}}{2}=4\frac{y^{2}}{2}$$ es decir $$y'=\pm2y.$$ A continuación, dividimos por $y$ (¡donde esté permitido!) y obtener $$\frac{y'}{y}=\pm2$$ y tras la integración, obtenemos $$\ln y=\pm2x+C$$ con una constante real $C$ De ahí que $$y\left(x\right)=\lambda e^{\pm2x}$$ con una constante real positiva $\lambda$ .
Editar : Si busca una solución de la forma $y\left(x\right)=\lambda e^{rx}$ donde $\lambda\neq0$ y $r\neq0$ son constantes reales, entonces se obtiene $$y'\left(x\right)=\lambda re^{rx}$$ y $$y''\left(x\right)=\lambda r^{2}e^{rx}.$$ Por lo tanto, la ecuación general $$ay''+by'+cy=0\,\,\,\,\,\left(*\right)$$ se convierte en $$\left(a\lambda r^{2}+b\lambda r+c\lambda\right)e^{rx}=0$$ y entonces debe satisfacer a la ecuación algebraica $$ar^{2}+br+c=0.$$ El polinomio $ar^{2}+br+c$ es el polinomio característico de la ecuación $\left(*\right)$ : sólo depende de los coeficientes $a,b,c$ de la ecuación diferencial.
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Sustituir $y=e^{mx}$ en la ecuación diferencial, esto da la ecuación característica $$e^{mx}(m^2-4)=0.$$ Desde $e^{mx} > 0$ para todos $x \in \mathbb{R}$ nos quedamos con $$m^2-4=0.$$ Resolviendo para las raíces, tenemos $m_1=2$ y $m_2=-2$ . La solución de su ecuación diferencial de segundo orden toma la forma $$y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}.$$
