Sistema no lineal. Encuentra la expectativa condicional.

Question

He hecho mi examen para este curso y creo que he vuelto a suspender. Lo más difícil para mí es encontrar las distribuciones correctas. Este es un ejercicio del examen que no pude resolver o al menos, probablemente fallé la pregunta. Espero que me ayuden, para que la próxima vez no suspenda mi examen.

Dada: $$\begin{align} X_{k+1} &= X_k\\ Y_k &= X_k^2 - V_k^2 \end{align}$$ También $X_0$ y $V_k$ son $\sim U(0,1)$ . Con $V_k$ ruido blanco, en este caso significa siempre independiente de $X_k$ . Hice la prueba y se me ocurrieron varios enfoques, pero la razón por la que creo que fracasaron es porque el resultado de las diferentes maneras no era el mismo.

Primero : Determinar $E[X_0|Y_0]$ para simplificar $X_0 = X$ y $Y_0 = Y$ . El enfoque que hice y que me pareció más prometedor: $$\begin{align} E[X|Y] &= \int x f_{X|Y} dx = \int x \left(\frac{d}{dx}P(X\leq x|Y =y)\right)dx\\ &= \int x \left(\frac{d}{dx}P(V_0^2\leq x^2 - y|Y =y)\right)dx\\ &= \int x \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 - y}} \mathbb{1}_{x^2-1<y<x^2}\mathbb{1}_{0<x<1} \right)dx\\ &= \left(\mathbb{1}_{-1<y<0}\int_{0}^{\sqrt{y+1}} + \mathbb{1}_{0<y<1}\int_{\sqrt{y}}^{1}\right)\frac{x^2}{\sqrt{x^2 - y}}dx \end{align}$$ No pude llegar más lejos que esto. ¿Qué debería haber hecho? ¿Están bien hechos esos pasos? También pensé en computar ${f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$ y utilizando una parametrización $X_0 = r \cosh(\theta)$ y $V_0 = r \sinh(\theta)$ . Pero cómo debería hacerlo en este caso está más allá de mí en este momento - aunque supongo que esto tampoco se puede hacer ya que $\cosh(\theta) \geq 1$ .

Segundo ...que viene...

Answer 1

Hay dos maneras de abordar el problema:

(a) Utilizar el "cambio de variables" de $X$ y $V$ a $X$ y $Y$ y luego encontrar la distribución condicional y la expectativa requeridas.

(b) Utilizar el método "directo", que es lo que has hecho.

Para este problema en particular, creo que (a) es un poco más simple pero usaré (b) aquí ya que está en línea con su enfoque.

Asumiré para $E(X\mid Y=y)$ que $y\geq 0$ . El funcionamiento es similar en el $y\lt 0$ caso.

$$\begin{eqnarray*} E(X\mid Y=y) &=& \int_x xP(X=x\mid X^2-V^2 = y)\;dx \\ &=& \int_x xP(X=x\cap V^2 = x^2-y)\;dx \;/\; P(X^2-V^2 = y) \\ &=& \int_x xP(X=x)P(V^2 = x^2-y)\;dx \;/\; P(X^2-V^2 = y) \\ &=& \int_{x=\sqrt{y}}^{1} x\cdot 1\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2-y}}\;dx \;/\; P(X^2-V^2 = y) \\ && \qquad\qquad\qquad\qquad\text{(if $U=V^2,\;$ then $\frac{dv}{du}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\;$ so $f_U(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$)} \\ &=& \left[\frac{1}{2}\sqrt{x^2-y}\right]_{x=\sqrt{y}}^{1} \bigg/ P(X^2-V^2 = y) \\ &=& \frac{1}{2}\sqrt{1-y} \bigg/ P(X^2-V^2 = y). \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{(1)} \end{eqnarray*}$$

Ahora encontramos $P(X^2-V^2 = y)$ a través de $P(X^2-V^2 \leq y)$ .

$$\begin{eqnarray*} P(X^2-V^2 \leq y) &=& 1 - \int_{x=\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^2-y}\;dx \\ &=& 1 - \frac{1}{2} \left[ x\sqrt{x^2-y} - y\ln \left(\sqrt{x^2-y} + x\right) \right]_{x=\sqrt{y}}^{1} \\ &=& 1 - \frac{1}{2} \left[ \sqrt{1-y} - y\ln \left(\sqrt{1-y} + 1\right) +y\ln\left(\sqrt{y}\right) \right]. \\ \end{eqnarray*}$$

Diferenciando wrt $y$ tenemos

$$\begin{eqnarray*} P(X^2-V^2 = y) &=& - \frac{1}{2} \left[ \frac{-1}{2\sqrt{1-y}} - \ln \left(\sqrt{1-y} + 1\right) +\frac{y}{\sqrt{1-y}+1}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-y}} + \ln\left(\sqrt{y}\right) + \frac{1}{2} \right] \\ &=& \frac{1}{2}\ln \left(\sqrt{1-y} + 1\right) - \frac{1}{2}\ln\left(\sqrt{y}\right) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{after simplification.} \end{eqnarray*}$$

Sustituyendo en $(1)$ tenemos, para $y\geq 0$

$$\begin{eqnarray*} E(X\mid Y=y) &=& \frac{\sqrt{1-y}}{\ln \left(\sqrt{1-y} + 1\right) - \ln\left(\sqrt{y}\right)}. \end{eqnarray*}$$