Aquí hay algunas preguntas que surgen cuando leo la Topología Algebraica P125 de Hatcher. Copiaré las palabras de Hatcher y escribiré mis preguntas en negrita . $$$$ Let us find explicit cylcles representing generators of the infinite cyclic groups $ H_n(D^n,\Nparcial D^n) $ and $ H_n(S^n) $. Replacing $ (D^n,\Nparcial D^n) $ by the equivalent pair $ (\Delta ^n,\Nparcial \Delta ^n) $,we will show by induction on n that the identity map:$ i_n:\Delta^n \Delta^n $ , viewed as a singular n-simplex , is a cycle generating $ H_n(D^n,\Nparcial D^n) $. That it is a cycle is clear since we are considering relative homology. When n=0 it certainly represents a generator. For the induction step, let $ \N - Lambda\N - subgrupo \N - Delta^n $ be the union of all but one of the $ (n-1)-\Nmathbb{dimensional} $ faces of $ \Delta^n $. Then we claim there are isomorphisms$$ H_n(D^n,\Nparcial D^n)\Nflecha derecha{{aprox}H_{n-1}(\NparcialDelta^n,\NLambda)\Nflecha izquierda{aprox}H_{n-1}(\NDelta^{n-1},\Nparcial \NDelta^{n-1}) $$ The first isomorphism is a boundary map in the long exact sequence of the triple $ (\Delta^n,\parcial\Delta^n,\Lambda) $, whose third terms$ H_i(\Delta^n,\Lambda) $ are zero since $ \Delta^n $ deformation retracts onto $ \N - Lambda $, hence$ (\Delta^n,\Lambda)\Nsimeq (\Lambda,\NLambda) $. Primera pregunta: ¿Qué es la retracción por deformación? El segundo isomorfismo proviene de la proposición anterior ya que se trata de pares buenos y la inclusión $\Delta^{n-1}\hookrightarrow \partial \Delta^n$ como la cara no contenida \Lambda induce un homeomorfismo de cocientes $\Delta^{n-1}/\partial \Delta^{n-1}\approx \partial \Delta^n/\Lambda$ . El paso de inducción induce entonces, ya que el ciclo $i_n$ es enviado bajo el primer isomorfismo al ciclo $\partial i_n$ que es igual a $\pm i_{n-1}$ en $C_{n-1}(\partial \Delta^n,\Lambda)$ . Segunda pregunta: ¿por qué es $\pm i_{n-1}$ en lugar de $i_{n-1}$ ? La secuencia exacta es la siguiente $$\cdots\rightarrow H_n(\partial \Delta^n,\Lambda)\rightarrow H_n(\Delta^n,\Lambda)\rightarrow H_n(\Delta^n,\partial \Delta^n)\rightarrow H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)\rightarrow\cdots$$ Para encontrar un ciclo que genere $H_n(S^n)$ consideremos $S^n$ como dos n-simples $\Delta^n_1 $ y $\Delta^n_2$ con sus límites identificados de forma obvia, preservando el orden de los vértices. Tercera pregunta: ¿Cuál es el significado de la frase completa? Cómo considerar $S^n$ ¿como? La diferencia $\Delta^n_1-\Delta^n_2$ ,visto como un singular $n$ -es entonces un ciclo, y afirmamos que representa un generador de $H_n(S^n)$ Asumiendo que $n>0$ para que este último grupo sea cíclico infinito. Para ver esto, consideremos los isomorfismos $$\widetilde{H_n}(S^n)\xrightarrow{\approx} H_n(S^n,\Delta^n_2)\xleftarrow{\approx} H_n(\Delta^n_1,\partial \Delta^n_1)$$ donde el primer isomorfismo proviene de la secuencia exacta larga del par $(S^n,\Delta^n_2)$ y el segundo isomorfismo se justifica pasando a cocientes como antes. Bajo estos isomorfismos el ciclo $\Delta^n_1-\Delta^n_2$ en el primer grupo corresponde al ciclo $\Delta^n_1$ en el tercer grupo , que representa un generador de este grupo como hemos visto , por lo que $\Delta^n_1-\Delta^n_2$ representa un generador de $H_n(S^n)$ .
Respuesta
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1) Una retracción por deformación de $X$ a $A \subset X$ es un mapa continuo $F: X \times I \to X$ tal que para todo $x \in X$ , $F(x,0) = x$ y $F(x,1) \in A$ y $F(a,1) = a$ para todos $a \in A$ . Se puede pensar en ' $X$ deformación se retrae a $A$ ' como decir que se puede encoger continuamente $X$ en $A$ . En este sitio puede encontrar muchas preguntas y respuestas que explican la retracción por deformación.
2) De hecho $\partial i_n$ es igual a $(-1)^ni_{n-1}$ en $C_{n-1}(\partial \Delta^n, \Lambda)$ . La cuestión es que a Hatcher no le importa el signo que sea.
3) Piensa en cada uno de los símiles como hemisferios de $S^n$ . A continuación, los pegas identificando sus límites. En el caso $n=2$ los dos símbolos son triángulos. Imagina que pegas sus aristas y luego alejas sus interiores. Entonces se obtiene algo que (topológicamente) se parece a una esfera. Preservar el orden de los vértices es sólo un tecnicismo para que el pegado se comporte correctamente.
