Calcular $\int{\frac{x^\alpha}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}} \ \mathrm{d}x$ para $\alpha = 1,2,4,6$ ?

Question

¿Cuál es la forma más sencilla de calcular la siguiente integral indefinida? $$\int{\frac{x^\alpha}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}}\ \mathrm{d}x,$$

para $\alpha = 1, 2, 4,5,6$ ?

Answer 1

SUGERENCIA: utilizar la sustitución $x=a\tan \theta$ , $$\int \frac{x^{\alpha}}{(x^2+a^2)^{3/2}}dx=\int \frac{a^{\alpha}\tan^{\alpha}\theta}{\sec^3\theta}\sec^2\theta\ d\theta=a^{\alpha}\int \frac{\tan^{\alpha}\theta}{\sec\theta} d\theta $$

Answer 2

CONSEJOS:

1. Cuando $\alpha=1$ , sustituto $u=x^2+\text{a}^2$ y $\text{d}u=2x\space\text{d}x$ : $$\mathcal{I}_1(\text{a},x)=\int\frac{x}{\left(x^2+\text{a}^2\right)^{\frac{3}{2}}}\space\text{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\space\text{d}u=-\frac{1}{\sqrt{u}}+\text{C}=\text{C}-\frac{1}{\sqrt{x^2+\text{a}^2}}$$

2. Cuando $\alpha=2$ , sustituto $u=x^2+\text{a}^2$ y $\text{d}u=2x\space\text{d}x$ : $$\mathcal{I}_2(\text{a},x)=\int\frac{x^2}{\left(x^2+\text{a}^2\right)^{\frac{3}{2}}}\space\text{d}x=\int\frac{1}{\sqrt{x^2+\text{a}^2}}\space\text{d}x-\text{a}^2\int\frac{1}{\left(x^2+\text{a}^2\right)^{\frac{3}{2}}}\space\text{d}x$$

Utilizar:

• Supongamos que $\text{a}\ne0$ : $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+\text{a}^2}}\space\text{d}x=\ln\left|x+\sqrt{x^2+\text{a}^2}\right|+\text{C}$$

• $$\int\frac{1}{\left(x^2+\text{a}^2\right)^{\frac{3}{2}}}\space\text{d}x=\frac{x}{\text{a}\sqrt{1+\frac{x^2}{\text{a}^2}}}+\text{C}$$

Así que:

$$\mathcal{I}_2(\text{a},x)=\ln\left|x+\sqrt{x^2+\text{a}^2}\right|+\frac{x}{\text{a}\sqrt{1+\frac{x^2}{\text{a}^2}}}+\text{C}$$ 3. Cuando $\alpha=4$ , sustituto $x=\text{a}\tan(u)$ y $\text{d}x=\text{a}\sec^2(u)\space\text{d}u$ Después de eso, sustituye $v=\sin(u)$ y $\text{d}v=\cos(u)\space\text{d}u$ : $$\mathcal{I}_4(\text{a},x)=\int\frac{x^4}{\left(x^2+\text{a}^2\right)^{\frac{3}{2}}}\space\text{d}x=\text{a}^2\int\frac{\tan^2(u)}{\sec(u)}\space\text{d}u=\text{a}^2\int\frac{v^4}{\left(v^2-1\right)^2}\space\text{d}v$$