Integrar: $\int \frac{2x^2-3x+8}{x^3+4x} \, dx$

Question

$$\int \frac{2x^2-3x+8}{x^3+4x}\,dx$$

Mi principal problema es calcular el $B$ y $C$ . Esta es la parte del álgebra. Por lo tanto, ¿cuál es una técnica que puedo utilizar que está en línea con lo que hice para calcular $A$ ?

Answer 1

Se pueden equiparar las potencias de $x$ . Así que ves que tu ecuación se simplifica a $$2x^2 -3x+8=Ax^2+4A+Bx^2+Cx$$ Si equiparamos todas las potencias de $x$ obtenemos el sistema de ecuaciones $$x^2:2=A+B$$ $$x:-3=C$$ $$x^0:8=4A$$

A partir de aquí está claro cómo conseguir $B,C$ .

Answer 2

Continuando con su trabajo, $$2x^2-3x+8=A(x^2+4)+(Bx+C)x$$

Ahora $x=0$ da $A=2$

También podemos escribir la ecuación anterior como : $$2x^2-3x+8=(A+B)x^2+4A+Cx$$

Se trata de una identidad en $x$ .

Así que los coeficientes de las respectivas potencias de ambos lados deben ser iguales.

$$A+B=2$$ y $$C=-3$$ Así que $$B=0$$

Answer 3

Como vas a poner $x=2t$ de todos modos, debido al factor $x^2+4$ , hazlo al principio: la integral se convierte en $$ \int\frac{8t^2-6t+8}{4t(t^2+1)}\,2dt = \int\frac{4t^2-3t+4}{t(t^2+1)}\,dt = \int\left(\frac{4}{t}-\frac{3}{t^2+1}\right)\,dt=4\log|t|-3\arctan t+c $$ Así que su integral original es $$ \int\frac{2x^2-3x+8}{x^3+4x}\,dx=4\log|x|-3\arctan\frac{x}{2}+c $$

Answer 4

Multiplicando ambos lados de $$\frac{2x^2-3x+8}{x^3+4x}=\frac Ax+\frac{Bx+C}{x^2+4}$$ con $x(x^2+4)$ se pueden eliminar los denominadores y obtener $$2x^2-3x+8=A(x^2+4)+(Bx+C)x. $$ A continuación, establezca $x=\;$ los polos de la fracción:

• $x=0$ produce $8=4A+0$ De ahí que $A=2$ .
• $x=2\mathrm i$ produce $-8-6\mathrm i+8=-6\mathrm i=0+(2B\mathrm i+C)2\mathrm i=-4B+2C\mathrm i$ . Identificando las partes real e imaginaria, obtenemos $$B=0,\enspace C=-3.$$