Cardinalidad de la unión de dos conjuntos

Question

Tengo problemas para intentar demostrar la desigualdad $|X\cup Y| \le |X|+|Y|$ .

Este es mi argumento intuitivo cuando tomamos la unión de $X\cup Y$ si hay elementos repetidos, no se cuentan dos veces. Sin embargo, la suma $|X|+|Y|$ cuenta todos los elementos de $X$ y $Y$ así como los elementos repetidos.

Mi problema radica en intentar que este argumento sea riguroso. ¿Podría alguien ayudarme? Gracias.

Edición: ¿No creo que pueda asumir funciones? Además, estos conjuntos son finitos. No sé si esto ayuda a aclarar algunas cosas.

Answer 1

Es posible que necesite más detalles en función de lo que pueda suponer. Pero el esquema es así.

Caso 1: $X$ y $Y$ son disjuntos. Así que $|X\cup Y| = |X| + |Y|$ .

Caso 2: $X$ y $Y$ no son disjuntos. Tomemos $Z=Y\setminus X$ . Entonces $|Z|<|Y|$ y $Z,X$ son disjuntos. $|X\cup Z| = |Z| + |X| < |X| + |Y|$ utilizando el caso 1 y el hecho de que $Z$ se construyó eliminando elementos de $Y$ . Sabemos que $Z \cup X = Y \cup X$ Así que $|X\cup Y| < |X| + |Y|$ .

Answer 2

Considera el hecho de que la cardinalidad de dos conjuntos finitos disjuntos es la suma de las cardinalidades (no estoy seguro de que necesites la prueba rigurosa completa usando funciones biyectivas para ello, si la necesitas, mira más abajo). A continuación, considere $X \cup (Y\setminus{X})$ .

http://planetmath.org/cardinalityofdisjointunionoffinitesets