Sea X un espacio de Banach. Mediante $C([0,T];X)$ I denotan todas las funciones continuas sobre el intervalo compacto $[0,T]$ de valores en $X$ . Cómo demostrar que $C([0,T];X)$ denso en $L^2([0,T];X)$ ? ¿Puedo utilizar el mismo argumento que en Comprender la densidad de $C^\infty$ en $L^p$ espacio. ?
Respuesta
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En primer lugar, demuestre que las funciones simples integrables de Bochner son densas en $L^p([0,T];X)$ - puedes hacerlo fácilmente utilizando el teorema de convergencia dominado por Lebesgue para la integral de Bochner. Ahora sólo hay que demostrar que $\mathscr{C}([0,T];X)$ es denso en el espacio de las funciones simples integrables de Bochner: sea $I\subseteq[0,T]$ sea un conjunto medible y que $\{\varphi_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathscr{C}([0,T];\mathbb{R})$ sea una secuencia de continuas (puede hacerlas suaves si lo desea) tal que $\varphi_n\to\chi_E$ en $L^p([0,T];\mathbb{R})$ . Ahora, para cualquier vector $x\in X$ tenemos $\varphi_n\cdot x\to \chi_E\cdot x$ como $n\to\infty$ por lo que, por linealidad, el espacio de las funciones continuas es denso en el espacio de las funciones simples y, por tanto, es denso en $L^p([0,T];X)$ .
