Encontrar las condiciones para que $4b^2 > a^2 > 3b^2$ y $b \mid (a^2-1)$ implica $b=(a+1)/2$

Question

Consideremos el conjunto de enteros positivos Impares $a$ y $b$ tal que $4b^2 > a^2 > 3b^2$ y $b \mid (a^2-1)$ .

El cálculo de fuerza bruta sugiere que $a=2b-1$ es la única solución para la "mayoría" de estos $b$ con excepciones: $$ b \in \{105,153,171,231,253,315,325,333,345,\dots\}.$$

Estoy tratando de encontrar un conjunto finito (y espero que bastante pequeño) de condiciones que elimine todas las excepciones.

La primera restricción es fácil: exigir $3 \nmid b$ reduce el conjunto de excepciones a $$ b \in \{253,325,425,473,551,595,689,703,713,\dots\}.$$

Para $b < 1000$ Esto es $16$ excepciones, todas satisfacen $$1.74 < \frac{a}{b} < 1.90$$

¿Alguien puede sugerir otras condiciones que eliminen estos valores "pícaros", de modo que el conjunto completo de condiciones obligue a $b = (a+1)/2$ ?

NOTA: He incluido las etiquetas "quadratic-residues" y "modular-arithmetic" porque imagino que ese tipo de consideraciones estarán implicadas (o al menos serán probablemente útiles).

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EDITAR #1: Añadir la condición $a \equiv 1\!\!\pmod{4}$ reduce el conjunto de excepciones a $$b \in \{253,425,595,689,713,737,893,925,979,\dots\}.$$

Answer 1

Para que un número impar $a$ para satisfacer $4b^2\gt a^2$ necesitamos $a=2b-(2r+1)$ con $r\ge0$ . Con el fin de $a$ para satisfacer $a^2\gt3b^2$ necesitamos $r$ para satisfacer $2r\lt(2-\sqrt3)b-1$ . Desde $a^2-1=4b^2-4b(2r+1)+4r(r+1)$ tenemos $b\mid(a^2-1)$ si y sólo si $b\mid4r(r+1)$ . Si $b$ es impar, esto se reduce a $b\mid r(r+1)$ . Así que construir "excepciones" equivale a encontrar valores positivos de $r$ para lo cual $r(r+1)$ tiene un divisor impar $b$ tal que $2r\lt(2-\sqrt3)b-1$ que se puede reescribir como $2(2+\sqrt3)r\lt b-(2+\sqrt3)$ .

Si $b$ es un divisor impar de $r(r+1)$ y $r\gt0$ entonces $b\le r(r+1)/2$ . Uniendo esto a la desigualdad $2(2+\sqrt3)r\lt b-(2+\sqrt3)$ obtenemos una desigualdad cuadrática que $r$ debe satisfacer,

$$r^2-(7+4\sqrt3)r-(4+2\sqrt3)\gt0$$

Encontramos que

$$r\gt{7+4\sqrt3+\sqrt{113+64\sqrt3}\over2}\approx14.445$$

por lo que cualquier búsqueda de excepciones debe comenzar con $r\ge15$ .

La forma más fácil de producir excepciones es dejar que $r=4k+1$ y $b=r(r+1)/2=(4k+1)(2k+1)$ o $r=4k+2$ y $b=r(r+1)/2=(2k+1)(4k+3)$ con $k\ge4$ . La restricción $3\not\mid b$ descarta la segunda y restringe la primera a $r=12k+1$ y $b=(12k+1)(6k+1)$ . No veo ninguna restricción obvia que elimine todas las excepciones, pero tal vez me estoy perdiendo algo.