Tangentes comunes directas a las circunferencias dadas

Question

Encuentra la ecuación de las tangentes comunes a las circunferencias $x^2+y^2-12x-8y+36=0$ y $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ tocando los círculos en los distintos puntos.

El centro del primer círculo $C_1$ es $(6,4)$ . Su radio $r_1=4$ .

El centro del segundo círculo $C_2$ es $(2,1)$ . Su radio $r_2=1$ .

Distancia entre $C_1$ y $C_2$ es decir $C_1C_2=5=r_1+r_2$ . Es decir, los círculos se tocan externamente.

Sea el punto de intersección de las tangentes comunes directas $P$ . Y $P$ divide $C_1C_2$ externamente en la proporción $4:1$ . Así que $P$ es $(\frac23,0)$ .

Ahora, la ecuación del par de tangentes desde un punto exterior es $SS_1=T^2$ . Usando esto en el primer círculo, obtengo ecuaciones como $y=0$ y $y=8$ . Utilizando la fórmula del segundo círculo, obtengo ecuaciones como $y=0$ y $y=2$ .

Ahora, tengo dos preguntas aquí. a) ¿Por qué salen ecuaciones diferentes? Ya que es el mismo par de tangentes, ¿no debería ser el mismo? b) El par de tangentes debería pasar por $P$ . Pero $P$ tiene la coordenada y como cero. Entonces, ¿por qué estoy recibiendo $y=2$ y $y=8?$

Además, si lo resolvemos de otra manera, es decir, tomando la pendiente de las tangentes como $m$ y luego igualando la distancia perpendicular desde el centro del segundo círculo, a la ecuación de la línea que pasa por P, con el radio de ese círculo, obtenemos $y=0$ y $24x-7y=16$ . Y si hago esto en el primer círculo, obtengo diferentes ecuaciones.

¿Qué estoy haciendo mal? Además, ¿por qué estoy recibiendo tantas ecuaciones aquí?

Answer 1

Ya has establecido que hay un punto de tangencia entre los dos círculos. Esta es una forma de localizar las tangentes externas. Pregunta qué tipo de transformación llevaría la circunferencia mayor a la menor. Sabes que la circunferencia mayor tiene radio $r_1 = 4$ y el centro $C_1 = (6,4)$ mientras que el más pequeño tiene un radio $r_2 = 1$ y el centro $C_2 = (2,1)$ . Así que si aplicamos la transformación $(u,v) = (x/4, y/4)$ ¿Qué pasa con el primer círculo? El radio se convierte en $1$ pero el centro es ahora $(u,v) = (6/4, 4/4) = (3/2, 1)$ . Eso está cerca, pero no del todo. Tenemos que añadir $1/2$ a la coordenada horizontal. Por tanto, una contracción de $1/4$ seguido de una traslación horizontal de $1/2$ o $$(u,v) = \left(\frac{x}{4} + \frac{1}{2}, \frac{y}{4} \right)$$ mapa de la voluntad $C_1$ a $C_2$ y $r_1$ a $r_2$ . ¿Por qué nos ayuda esto? Porque la intersección de las líneas tangentes externas es la única punto fijo de esta transformación. Es decir, donde se cruzan las líneas tangentes, este punto no se mueve cuando se transforma de esta manera. Así que si resolvemos $$x = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}, \\ y = \frac{y}{4},$$ encontramos que este punto fijo es $$(x,y) = \left(\frac{2}{3}, 0\right).$$ Así que ambas líneas deben pasar por este punto, por lo que tienen la ecuación $$y - 0 = m(x - 2/3),$$ para una cierta pendiente $m$ . Esto nos permite sustituir $x$ para $y$ en cualquier ecuación del círculo; por ejemplo, para $C_2$ obtenemos $$\begin{align} 0 &= x^2 + m^2(x-2/3)^2 - 4x - 2m(x-2/3) + 4 \\ &= (1+m^2)x^2 - \left(\frac{4}{3}m^2 + 2m + 4\right)x + \left(\frac{4}{9}m^2 + \frac{4}{3} m + 4\right). \end{align}$$ Requerimos el discriminante de esta cuadrática en $x$ sea cero, porque de lo contrario no habrá un único punto de intersección para la línea tangente y el círculo. Para no tener que lidiar con fracciones, multiplicamos los coeficientes por $9$ : $$a = 9(1+m^2) \\ b = 12m^2 + 18m + 36 \\ c = 4m^2 + 12m + 36.$$ Entonces debemos tener $$0 = b^2 - 4ac = (12m^2 + 18m + 36)^2 - 36(m^2 + 1)(4m^2 + 12m + 36) = 36m(24 - 7m).$$ Esto nos da $m = 0$ y $m = \frac{24}{7}$ como soluciones, y nuestras líneas tangentes deseadas son $$y = 0, \quad y = \frac{27}{4}\left(x - \frac{3}{2}\right).$$

Answer 2

1. eje x que es $y=0$ es la de las tangentes que pasan por dos puntos distintos ya que $C_1(2;1)$ y $r_1=1$ $C_2(6;4)$ y $r_2=4$

2. Ahora la ecuación de la recta que pasa por ambos centros es $3x-4y-2=0$ que es la bisectriz de las rectas tangentes que pasan por puntos distintos. Todas ellas se cruzan en $(\frac{2}{3};0)$

y la otra que pasa por el punto $(\frac{2}{3};0)$ con pendiente es $m=\frac{24}{7}$ es $$24x-7y-16=0$$ (La pendiente de la línea que pasa por ambos centros es $m=tan\alpha=\frac{3}{4}$ y la pendiente de la otra línea tangente común es $m=tan2\alpha=\frac{24}{7}$ )

3. Las circunferencias son tangentes entre sí, entonces la ecuación tangente común a través del punto común de tangencia es

$$x^2+y^2-12x-8y+36=x^2+y^2-4x-2y+4$$ $$4x+3y-16=0$$

Answer 3

Consideremos la línea que pasa por los centros de los círculos $$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$$ $x-$ eje es tangente a ambos círculos porque el valor abs del $y-$ La coordenada de los centros es igual a los radios. Por lo tanto, la intersección de los $x-$ eje y la línea de los centros dan el punto $P$ desde donde se dibujan las tangentes comunes. Para resolver el sistema sustituimos $y=0$ en la ecuación de la línea de centros $y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}$ .

Obtenemos $P(2/3,0)$ . Ahora escribe la ecuación de la recta que pasa por $P$ con pendiente desconocida $m$ . $$y=m\left(x - \frac{2}{3}\right)\to 3 m x-3 y-2m=0$$ La distancia de esta línea desde el centro $(2,1)$ de uno de los círculos debe ser igual a su radio $r=1$ . $$\frac{\left|6m-3-2m\right|}{\sqrt{9m^2+9}}=1$$ $$|4m-3|=\sqrt{9m^2+9}\to m (7 m-24)=0\to m_1=0;\;m_2=\frac{24}{7}$$ las tangentes comunes son $$y=0;\;y=\frac{24}{7}x-\frac{16}{7}$$

Answer 4

Sobre los números complejos, contando con la multiplicidad, se obtienen cuatro tangentes comunes. Esto se debe a que, según Bezout, las dos cónicas duales, que parametrizan las líneas tangentes a sus círculos, son de grado dos, y al intersecarlas se obtienen las tangentes comunes. Las cuatro pueden ser reales.

Ahora, para su problema específico, intente suponer que las tangentes comunes son de la forma $Xx+Yy+1=0:$ Entonces podemos intersecar las cónicas duales $\langle 3X^2+4XY+4X+2Y+1,20X^2+48XY+12X+8Y+1\rangle$ que nos da $\langle (16Y-7)(16Y+3)^2,112X+256Y^2+160Y+49\rangle$ y corresponde a las tres líneas $-\frac14x-\frac{3}{16}y+1=0$ (doblemente) y $-\frac32x+\frac{7}{16}y+1=0.$

La cuarta línea no es de la forma supuesta, podemos obtenerla mirando la línea en el infinito. Eso es suponer $Z=0$ en las ecuaciones: $\langle 3X^2+4XY+4XZ+2YZ+Z^2,20X^2+48XY+12XZ+8YZ+Z^2,Z\rangle$ que se reduce a $\langle 3X^2+4XY,20X^2+48XY\rangle$ de la que obtenemos $X=0$ (y $\langle Y,X^2\rangle$ que da el punto del cono irrelevante) y $xX+yY+zZ=0$ se convierte en $y=0.$