Extensión de una función analítica a la frontera de su dominio mediante límites no tangenciales

Question

Dejemos que $\mathbb{D}$ denota el disco unitario abierto del plano complejo y sea $f : \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C}$ sea una función analítica. Supongamos que $f$ tiene límites no tangenciales en un conjunto denso en $\partial\mathbb{D}$ de manera que los valores puedan extenderse a una función continua sobre $\partial\mathbb{D}$ . ¿Basta con deducir que $f$ puede extenderse a una función continua sobre $\overline{\mathbb{D}}$ que es analítico en su interior?

¡Muchas gracias!

Answer 1

He aquí un contraejemplo: Dejemos que $E\subset \partial\mathbb D$ sea un subconjunto denso de medida $0.$ Entonces existe una función armónica positiva $u$ en $\mathbb D$ tal que

$$\tag 1 \lim_{z\to \zeta,z\in \mathbb D}u(z)=\infty$$

para cada $\zeta\in E.$ *

Utilizando $(1),$ dejar $v$ sea un conjugado armónico de $u.$ Establecer $f=e^{-(u+iv)}.$ Entonces

$$\lim_{z\to \zeta,z\in \mathbb D}f(z)=0$$

para cada $\zeta\in E.$ Nótese que estos límites permiten la aproximación completa dentro del disco, no sólo la aproximación no tangencial.

Dejaré la comprobación de que este $f$ es efectivamente un contraejemplo. Pero pregunta si tienes dudas.

*Ver Ejercicio 18, Capítulo 6, Teoría de la función armónica de Axler, Bourdon y Ramey https://www.axler.net/HFT.pdf