Volumen de un tetraedro

Question

¿Cuál es el volumen de un tetraedro dada la distancia (x) del centro del tetraedro a uno de los vértices? No consigo encontrar un método corto y bonito para obtener la respuesta, así que se agradecerían pistas/métodos generales.

Answer 1

Para un Sólido platónico con Símbolo de Schläfli $\lbrace p , q \rbrace$ y circumradio $R$ (la distancia del centro a cualquier vértice), el volumen es $$V = \frac{F p R^3}{3 \left( \tan(\frac{\pi}{q})\right)^3 \, \left(\tan(\frac{\theta}{2})\right)^2 \, \left(\tan(\frac{\pi}{p})\right)^2} \tag{1}\label{1}$$ donde el número de caras es $F$ , $$F = \frac{4 q}{4 - (p - 2) (q - 2)} \tag{2}\label{2}$$ y el ángulo diedro es $\theta$ , $$\sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{ \cos(\frac{\pi}{q}) }{ \sin(\frac{\pi}{p}) }$$ es decir $$\frac{\theta}{2} = \arcsin\left( \frac{\cos(\frac{\pi}{q})}{\sin(\frac{\pi}{p})} \right) \tag{3}\label{3}$$

Si quieres volver a ver estas fórmulas, mira en la Wikipedia Sólido platónico artículo. En primer lugar, resolver la longitud de la arista $a$ de la ecuación del circunradio $R$ La fórmula es válida para todos los sólidos platónicos (para los sólidos platónicos, la circunsfera es concéntrica con el propio poliedro: los centros están en el mismo punto). El artículo muestra entonces cómo se puede dividir el poliedro regular convexo en un conjunto de pirámides iguales, y usando eso, calcular el volumen del poliedro. Sustituyendo las variables, se obtiene $\eqref{1}$ .

Answer 2

Dejemos que $ABCD$ sean los vértices del tetraedro regular, $O$ su centro y $H$ el centro de la cara $ABC$ . Denotemos por $r=OA=OB=OC=OD$ el circunradio del tetraedro, y por $a$ la longitud de sus bordes.

Las cuatro pirámides $OABC$ , $OACD$ , $OBCD$ , $OABD$ son todos iguales entre sí y su volumen es $1\over4$ el volumen del tetraedro. Pero las pirámides $OABC$ y $ABCD$ tienen la base $ABC$ en común, por lo que sus alturas $OH$ y $DH$ deben ser proporcionales a sus volúmenes: $$OH={1\over4}DH={1\over4}(r+OH), \quad\hbox{whence:}\quad OH={1\over3}r \quad\hbox{and}\quad DH={4\over3}r.$$ Por otro lado, aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos $AOH$ y $ADH$ que tenemos: $$AH^2=AD^2-DH^2=AO^2-OH^2,$$ es decir: $$a^2-{16\over9}r^2=r^2-{1\over9}r^2, \quad\hbox{whence:}\quad a^2={8\over3}r^2.$$ Una vez conocida la proporción $a/r$ es fácil calcular el área de $ABC$ y luego el volumen del tetraedro $ABCD$ en términos de $r$ : $$area_{ABC}={1\over2}a{\sqrt3\over2}a={\sqrt3\over4}a^2={2\over\sqrt3}r^2,$$ $$volume_{ABCD}={1\over3}area_{ABC}\cdot DH= {1\over3}{2\over\sqrt3}r^2\cdot{4\over3}r= {8\over9\sqrt3}r^3.$$