Demuestre que para cada k $\in \mathbb N$ , $2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,...,2^n+3^n-k$ son todos compuestos para algunos $n$

Question

Demuestre que para cada $k\in \mathbb N$ existe un número $n\in\mathbb N$ tal que

$2^n+3^n-1,2^n+3^n-2,...,2^n+3^n-k$

son todos compuestos.

Answer 1

Dejemos que $k\in\mathbb N$ y que $N>0$ sea un número entero positivo suficientemente grande. Sea $p_1,\ldots,p_k$ sean primos que dividen a $2^N+3^N-1,\ldots,2^N+3^N-k$ respectivamente y dejemos que $q=(p_1-1)\cdots(p_k-1)$ .

Entonces, para cualquier $m\in\{1,\ldots,k\}$ , $p_m\mid2^N+3^N-m\equiv2^{N+q}+3^{N+q}-m\pmod{p_m}$ .
Al menos, si $p_m\neq3$ lo que significa que tendremos que asegurarnos de que el $p_m$ pueden ser elegidos para ser diferentes de $3$ . De hecho: $3^N<2^N+3^N-m<3^{N+1}$ tan pronto como $2^N>m$ Así que sólo tenemos que tomar $N>\log_2(k)$ .

Con esta elección de $p_m$ 's, cada $2^{N+q}+3^{N+q}-m$ es compuesto y podemos tomar $n=N+q$ .

Obsérvese que esto da un límite superior explícito para la menor de dichas $n$ , a saber $$n\leq\lfloor1+\log_2k\rfloor+\prod_{m=1}^k(2^{\lfloor1+\log_2k\rfloor}+3^{\lfloor1+\log_2k\rfloor}-m-1).$$ (Esto crece toscamente como $k^{k\log_2(3)}\approx(k^k)^{1.585}$ .)