Demostrar que si $f(x,t)$ es continua en $D=\{(x,t):x\in[a,b]\land t\in[c,d]\}$ entonces $F(x)=\int_c^d f(x,t)\mathrm dt$ es continua en $[a,b]$
Se trata de la integración de Riemann. No sé cómo mostrar esto formalmente. Entiendo que si tomamos $x=x_0$ como una constante, entonces la función
$$F(y)=\int_c^y f(x_0,t)\mathrm dt$$
es continua en $[c,d]$ . Puedo demostrar que con el $\epsilon-\delta$ definición de continuidad, cuando fijamos una variable como constante entonces el resultado unidimensional también es continuo.
Y si puedo demostrar que el caso general
$$F(x,y)=\int_c^y f(x,t)\mathrm dt$$
es continua en $D$ entonces he terminado. Entonces
$$F(x,y)=\int_c^y f(x,t)\mathrm dt=\lim_{n\to\infty}U(f,P_{n,t})=\lim_{n\to\infty}\frac{y-c}{n}\sum_{k=1}^n M_k(x)$$
donde $M_k(x)=\sup\{f(x,t):t\in[t_{k-1},t_k]\land x\in[a,b]\}$ . Entonces, si pruebo que $M_k(x)$ es continua para cada $k$ y cada partición $P_{n,t}$ y converge uniformemente a alguna función $M(x)$ entonces $M(x)$ es continua y por lo tanto $F(x,y)$ es continua.
Pero me quedo atascado aquí. ¿Puede ayudarme con alguna pista? ¿Quizás estoy complicando demasiado la prueba, hay un camino más fácil para hacerlo? Gracias de antemano.
