Encuentre el área máxima utilizando sólo un valor pronumeral no especificado

Question

¡Otra pregunta! Estoy muy emocionada por haberme unido a esta comunidad. Aprecio mucho la ayuda y la inteligencia por aquí.

Básicamente, un tipo llamado Ron está tratando de decidir si una sección rectangular o circular producirá un área mayor al crear una valla utilizando 100 metros de malla de barricada, calculando y comparando las dos. Entiendo cómo encontrar las áreas máximas de las áreas rectangulares y circulares.

Sin embargo, la segunda parte de la pregunta me pide ahora que encuentre el área máxima de una sección rectangular y circular utilizando n metros de malla de barricada. En mi cabeza creo que esto es bastante sencillo pero me estoy confundiendo con la sustitución y demás. Por ejemplo, para la sección circular sabemos que n es la circunferencia. Quería encontrar el radio de ésta y luego calcular el área de esa manera, pero el radio es r = C/2, lo que haría que la ecuación r = n /2.

Y luego poner eso en la ecuación para encontrar el área de un círculo utiliza Área = r^2, y entonces se vuelve muy confuso porque se convierte en Área = ( n /2)^2. Estoy completamente confundido después de eso.

El área del rectángulo también me confunde, ya que estoy haciendo esto en un orden paso a paso.

Por ejemplo, n \= 2l + 2w (l = longitud y w = anchura). También significa que n /2 = l +w.

w en términos de l es igual a w = n/2 + l.

Para encontrar el área máxima se utiliza l(n/2 + l), que me he atascado mucho y lo he calculado como ln/2 + l^2.

Además, aunque esto podría ser correcto, ¿cómo voy a encontrar la longitud utilizada para encontrar el área máxima? He descubierto que siempre es un cuarto de la longitud inicial dada. Entonces todo esto se vuelve muy confuso, ya que l = n/4 y no tengo ni idea de cómo sustituir eso por ln/2+l^2.

Por favor, disculpen mi desordenada explicación. Ni siquiera sé si tiene sentido. TLDR; Estoy tratando de encontrar el área máxima de un seccionamiento rectangular y circular (por separado) utilizando n metros como la longitud "máxima" para trabajar. Se agradece cualquier ayuda.

EDITAR : Parece que lo he hecho bien. Sin embargo, una cosa que hice mal es ln/2+l^2. Mi cálculo anterior se olvidó de hacer l^2 negativo y por lo tanto dio un resultado mucho mayor. Debería haber sido ln/2-l^2 y luego sustituir l por n/4.

Answer 1

Ya que entiendes la parte del círculo del problema donde el área máxima es $A=\dfrac{n^2}{4\pi}$ Hablaré del rectángulo. Por cierto, usted escribió en su pregunta que $W=\dfrac{n}{2}+L$ pero es $W=\dfrac{n}{2}-L$ .

El mayor rectángulo de $n$ metros de valla es en realidad la plaza con $L=W=\dfrac{n}{4}$ que da un área $A=\dfrac{n^2}{16}$ .

Para ver por qué esto es así sin usar el cálculo supongamos que intentamos que la longitud sea ligeramente mayor que $\dfrac{n}{4}$ dejando $L^*=\dfrac{n}{4}+E$ . Entonces la anchura tendrá que ser $W^*=\dfrac{n}{4}-E$ para mantener el perímetro igual a $n$ . Pero ahora la zona es $A^*=\left(\dfrac{n}{4}+E\right)\cdot\left(\dfrac{n}{4}-E\right)=\dfrac{n^2}{16}-E^2$ que es menor que el área $A=\dfrac{n^2}{16}$ cuando $L=W=\dfrac{n}{4}$ .

Si intentamos que la longitud sea ligeramente menor, por ejemplo $\dfrac{n}{4}-E$ en lugar de un poco más grande entonces el ancho tendrá que ser $\dfrac{n}{4}+E$ y así seguimos obteniendo un área $\dfrac{n^2}{16}-E^2$ que es más pequeño.

Desde $\dfrac{n^2}{4\pi}>\dfrac{n^2}{16}$ el círculo gana.