Este es un lema de Freyd Categorías abelianas afirmado sin pruebas.
En una categoría abeliana, $$A\rightarrow S \rightarrowtail B = A \rightarrow B$$ si y sólo si $$A\rightarrow B \twoheadrightarrow \mathrm{coker}(S\rightarrowtail B)=0$$
La prueba del $\Downarrow$ dirección es inmediata, pero no he conseguido probar la $\Uparrow$ dirección. Se agradecen las sugerencias.
Supongo que quieres demostrar que, dado un morfismo $f: A\to B$ y un subobjeto $j: S\rightarrowtail B$ con cokernel $\pi: B\twoheadrightarrow\text{coker}(S\rightarrowtail B)$ (en una categoría abeliana), se tiene $f$ factoring a través de $j$ si y sólo si $\pi\circ f=0$ ?
Para la dirección " $\Leftarrow$ "Nótese que cualquier monomorfismo es el núcleo de su cokernel.
También podrías pensar en un contraejemplo en la categoría (no abeliana) de grupos que estuvimos discutiendo ayer en Objetos de cociente en $\mathsf{Grp}$ .
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