¿Cómo podemos descomponer la matriz identidad dado un conjunto de vectores ortonormales?

Question

Dejemos que $A$ sea una matriz semidefinida positiva (P.S.D) con un conjunto distinto de valores propios. como es P.S.D su eigendecomposición es la siguiente para los pares propios de $(\lambda_i,v_i)$

$$ A= \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots v_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots \\ \vdots & & \ddots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1^T \\ v_2^T \\ \vdots \\ v_n^T \end{bmatrix} $$

donde $v_i^Tv_i=1$ y $v_i^Tv_j =0$ para $i \neq j$ . $A$ puede escribirse como la suma siguiente

$$ A= \begin{bmatrix} \lambda_1v_1 & \lambda_2v_2 & \cdots \lambda_nv_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1^T \\ v_2^T \\ \vdots \\ v_n^T \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_iv_iv_i^T $$

Si $A=I$ es que lo anterior es válido para cualquier conjunto de vectores ortonormales $\{u_i\}_{i=1}^n$ ? Si es así, ¿podría mostrarlo?

Answer 1

De ello se desprende que $I=\sum_{i=1}^{n}v_iv_i^T$ para cualquier base ortonormal $v_i$ es decir, cualquier completa conjunto ortonormal. El argumento es el mismo, da igual que los valores propios $\lambda_i=1$ son distintos o no. Lo que importa es que $v_i$ forman una base propia ortonormal. Para $A=I$ todo vector es un vector propio, por lo que cualquier base es una base propia. Aplicando la suma a cualquier vector $x$ tenemos $$ \big(\sum_{i=1}^{n}v_iv_i^T\big)x=\sum_{i=1}^{n}(v_i,x)v_i=x, $$ porque $v_i$ son una base ortonormal. Lo que significa que la suma actúa de la misma manera que $I$ .

Answer 2

Tengamos un conjunto de vectores ortonormales $\{u_i\}_{i=1}^n$ edificio $U$ como sigue

$$ U= \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix} $$ Por lo tanto, $U$ es una matriz unitaria, es decir $U^TU=I_n$ y $UU^T=I_n$ Así que al multiplicar

$$ UU^TU=UI_n \rightarrow I_nUU^T=UI_nU^T \rightarrow I_n=UI_nU^T=\sum_{i=1}^{n} u_iu_i^T $$