Esta es la notación de la teoría de distribuciones en Matemáticas. La teoría de las distribuciones está destinado a hacer cosas como la Delta de Dirac riguroso.
En este contexto, sólo para darles una visión general, una distribución es funcional en el espacio de funciones de prueba. Definimos el espacio de funciones de prueba de más de $\mathbb{R}$ $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ siendo el espacio de las funciones lisas con soporte compacto (es decir, el conjunto donde no son cero es acotado y cerrado).
En ese caso, el espacio de las distribuciones es el espacio de lineal continua y funcionales sobre $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ y se denota como a $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$. Si $\eta\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ $\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ le suele denotar $\eta(\phi)$$(\eta,\phi)$. Dado que las distribuciones son sólo funcionales lineales, decimos que dos distribuciones $\eta,\zeta$ son iguales si $(\eta,\phi)=(\zeta,\phi)$ todos los $\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$.
La Delta de Dirac, por ejemplo, se define como $\delta\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ cuya acción sobre el $\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$$(\delta,\phi)=\phi(0)$. Ahora bien, dado $\phi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$ uno siempre se puede construir una distribución de asociados:
$$(\phi,\psi)=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x)\psi(x)dx, \qquad \forall \ \psi\in \mathcal{D}(\mathbb{R}).$$
Hay otras maneras, a pesar de que, para hacer una costumbre de la función en una distribución, incluso si la función no es una función de prueba. Uno de ellos es el principal valor. Considere la posibilidad de $f(x) = \frac{1}{x}$. Esto, obviamente, no tiene soporte compacto, por lo $f\notin \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Podemos hacer $f$ en una distribución, aunque, considerando el valor del capital:
$$\left(\operatorname{Pv}\frac{1}{x},\phi\right)=\lim_{\epsilon\to 0^+}\left(\int_{-\infty}^{-\epsilon}\dfrac{\phi(x)}{x}dx+\int_\epsilon^\infty \dfrac{\phi(x)}{x}dx\right).$$
Esto es lo que el libro significa por $\operatorname{Pr}$.
Ahora, la fórmula de que el estado es el Sokhotski–Plemelj fórmula. Debe leerse en el sentido distributivo. Diciendo que:
$$\lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{x+i\epsilon}=\operatorname{Pr}\frac1x -i\pi\delta(x).$$
Realmente significa que para todos los $\phi\in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ hemos
$$\lim_{\epsilon\to 0}\left(\frac{1}{x+i\epsilon},\phi\right)=\left(\operatorname{Pr}\frac1x,\phi\right) -i\pi\left(\delta(x),\phi\right),$$
donde
$$\left(\frac{1}{x+i\epsilon},\phi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\phi(x)}{x+i\epsilon}dx.$$
