Funciones que son límites uniformes

Question

Para $n \in \mathbb{N}$ consideremos $f_{n}: \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^{-nx}$ y que $E = \text{span}(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ .

La cuestión es: determinar las funciones que son límites uniformes de secuencias de $E$ .

Así que obviamente tales funciones son continuas, pero si no ... No sé... Tal vez el hecho de que $f_{n} = (f_{1})^{n}$ es útil, pero no veo cómo.

Answer 1

Son precisamente funciones continuas $f$ tal que $f(x) \to 0$ como $x \to \infty$ .

Prueba: Dada una función cualquiera $f$ definir $g: [0,1] \to \mathbb R$ por $g(x)=f(- \ln x)$ si $x >0$ y $g(0)=0$ . Puede comprobar que $g$ es continua. Por el Teorema de Weierstrass existe un polinomio $p$ tal que $|g(x)-p(x)| <\epsilon$ para todos $x$ . Tenga en cuenta que $|p(0)| <\epsilon$ desde $g(0)=0$ . Por lo tanto, podemos modificar $p$ a un polinomio sin término constante. Esto se traduce en $|f(x)- \sum\limits_{k=1}^{n} c_ke^{-kx}|<\epsilon$ .