Demuestre que por el método de inducción que $2^{2^n}+1$ tiene $7$ en el lugar de la unidad para todos $n\geq 2$ .

Question

Demuestre que por el método de inducción que $2^{2^n}+1$ tiene $7$ en el lugar de la unidad para todos $n\geq 2$ .

He tratado de mostrar esto con la siguiente manera :

Dejemos que $f(n)=2^{2^n}+1$ .
Entonces para $n=2,f(2)=2^{2^2}+1=17\Rightarrow f(2)\equiv 7(\mod 10) $
Supongamos que para $n=m$ el resultado es verdadero, es decir, $f(m)=2^{2^m}+1=10p+7$ , donde $p$ es un número entero.
¿Cómo puedo mostrar este resultado para $n=m+1$ ?

Answer 1

SUGERENCIA: $$f(m+1)=2^{2^{m+1}}+1=2^{2^m\cdot2}+1=\left(2^{2^m}\right)^2+1=\big(f(m)-1\big)^2+1$$

Answer 2

SUGERENCIA: Cuando se eleva al cuadrado un número terminado en $6$ ¿no se obtiene otro número de este tipo?

Answer 3

Una pista: Tenga en cuenta que $2^{2^{n+1}}=\left(2^{2^n}\right)^2$ y $(10k+6)^2=100k^2+120 k+36$

Answer 4

Sugerencia: aplicar la inducción a $2^{2^m}$

Posibilidad adicional: investigar los dígitos de las unidades de pequeñas potencias de $2$ y formular y demostrar una hipótesis más fuerte (pero más simple) por inducción de la cual el enunciado dado es un caso especial.

Answer 5

Sea cierta la afirmación F(n) y con F(n+1) la potencia de 2 que es 2^m se convierte en 2^(n+1) que es un número de la forma 4k. Y 2^4k siempre dará un 6 en su último dígito y añadiendo 1 se obtendrá un 7 en el último dígito.