Centro de Morley frente al incentro de un triángulo

Question

Recordemos que el incentro de $\,$$ \N - Delta $$ABC$ $\,$ es el centro de su circunferencia y se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos de $\,$$ \N - Delta $$ABC$$ \,$.
Morley demostró que la intersección de trisectores adyacentes de $\,$$ \N - Delta $$ABC$$\,$ yields an equilateral triangle (the Morley triangle) inside $\,$$\Delta$$ ABC $ $\,$ . $\;$ Definir el centro de Morley de $\,$$ \N - Delta $$ABC$$\,$$\,$ para ser el centro de su triángulo de Morley.

Las definiciones anteriores, así como un poco de experimentación, sugieren que ambos deberían ser ciertas. ¿Existen pruebas sencillas para alguna de ellas? $\;$ Gracias.

Preguntas: $\,$ 1) ¿El centro de Morley se encuentra dentro del círculo?

$\qquad$$ \qquad $ $ \2) ¿Está el incentro dentro del triángulo de Morley?

Answer 1

Los vértices del triángulo equilátero de Morley tienen coordenadas trilíneas dadas por $$ M_A = \left[1,2\cos\frac{C}{3},2\cos\frac{B}{3}\right],\quad M_B=\left[2\cos\frac{C}{3},1,2\cos\frac{A}{3}\right],\quad M_C=\left[2\cos\frac{B}{3},2\cos\frac{A}{3},1\right]$$ donde $2\cos\frac{x}{3}\in (1,2)$ para cualquier $x\in\{A,B,C\}$ . Dado que las coordenadas trilineales del incentro vienen dadas por $I=[1,1,1]$ se deduce que el incentro siempre se encuentra dentro de $M_A,M_B,M_C$ .

Las coordenadas trilineales del centro de Morley $X(356)$ están dadas por: $$ X(356)=\left[\cos\frac{A}{3}+2\cos\frac{B}{3}\cos\frac{C}{3},\ldots,\ldots\right]$$ pero estos números siempre se encuentran en el intervalo $\left(2,1+\cos\frac{\pi}{9}+\cos\frac{2\pi}{9}=2.705737\ldots\right)$ Por lo tanto, el centro de Morley siempre se encuentra dentro del círculo.